미분을 두번 한 것이 최고인 것을 넘어 더 여러번 미분이 되어있는 고계 미분 방정식을 살펴보자. 이 중에서도 가장 간단한 상수 계수를 갖는 형태를 살펴보자.
(1)
이 때 계수 an-1부터 a0는 전부 상수이다. 상수계수를 갖는 2계 선형 제차 상미분방정식을 풀은 것 처럼 식(2)와 같은 형태의 해를 구한다.
(2)
식(2)를 식(1)에 대입하면 식(3)이 된다.
(3)
식(3)의 계수들을 전부 묶으면,
(4)
지수로 양변을 나누면 다음 식이 얻어진다.
(5)
이 식(5)를 특성방정식,characteristic equation 이라고 한다. 이 특성방정식의 해를 식(2)에 대입하면 식(1)의 해가 된다.
(6)
그런데 특성방정식에서 중근이 된다면, 즉
(7)
이런 경우에 해는, 계수축소법을 통해 구하면 상수계수를 갖는 2계 선형 제차 상미분방정식을 푸는 것과 동일하게 x가 하나씩 붙는 해가 된다.
(8)
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