상수 계수를 갖는 고계 선형 제차 상미분방정식, Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficient

 미분을 두번 한 것이 최고인 것을 넘어 더 여러번 미분이 되어있는 고계 미분 방정식을 살펴보자. 이 중에서도 가장 간단한 상수 계수를 갖는 형태를 살펴보자.

(1)

 이 때 계수 a_n-1부터 a₀는 전부 상수이다. 상수계수를 갖는 2계 선형 제차 상미분방정식을 풀은 것 처럼 식(2)와 같은 형태의 해를 구한다.

(2)

 식(2)를 식(1)에 대입하면 식(3)이 된다.

(3)

식(3)의 계수들을 전부 묶으면,

(4)

지수로 양변을 나누면 다음 식이 얻어진다.

(5)

이 식(5)를 특성방정식,characteristic equation 이라고 한다. 이 특성방정식의 해를 식(2)에 대입하면 식(1)의 해가 된다. 

(6)

 그런데 특성방정식에서 중근이 된다면, 즉

(7)

 이런 경우에 해는, 계수축소법을 통해 구하면 상수계수를 갖는 2계 선형 제차 상미분방정식을 푸는 것과 동일하게 x가 하나씩 붙는 해가 된다. 

(8)