선형 연립 미분 방정식, Systems of ODE

 두 미분방정식이 서로 연관이 있을 때 어떻게 풀지 생각해보자. 

위 그림처럼 두 물탱크가 있다. T₁에는  순수한 물 100 L가 있고, T₂에는 소금물 100 L가 있다. T₂의 소금의 양은 50 g 이다. 시간당 두 물탱크 사이로 10 L가 교환된다고 하자. T₁와 T₂의 소금의 양을 각각 y₁=y₁(t), y₂=y₂(t)라고 하자. 

그러면 각각 두 탱크의 소금의 양이 변하는 속도는 유입량-유출량을 하면 될 것이다. 이를 식으로 표현하면,

(1)

이를 정리하여 다시 쓰면,

(2)

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아래와 같은 연립 미분방정식이 있다면,

(3)

아래 식(4)와 같이 행렬로 다시 바꿔 쓸 수 있다.

(4)

 우리는 식(4)의 Y'=A·Y+f를 선형 연립 미분방정식이라 하며, f가 0일 때 제차 선형 연립 미방, 0이 아닐 때 비제차 선형 연립 미방이라고 한다.

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식(2)의 선형 연립 미분방정식을 식(5)처럼 행렬의 형태로 바꿔쓰면,

(5)

 위에서 정의한 것처럼 제차 선형 연립 미분방정식의 형태이다.

 먼저 고유값과 고유벡터를 구하자. det(A-λI)=0 가 되는 고유값λ를 구하면,

(6)

 먼저 λ₁=0 일때의 고유벡터를 구하자.

(7)

 따라서 첫번째 고유벡터는 아래와 같이 쓸 수 있다.

(8)

 이때 t는 0이 아니다.

 두번째 고유벡터는 λ₂=-1/5 일 때이다. 

(9)

따라서 두번째 고유벡터는,

(10)

이제 고유값과 고유벡터를 모두 구했다. 해의 형태로 아래 식(11)과 같은 것을 생각하자.

(11)

Y₁와 Y₂가 식(5)의 해가 된다. 따라서 식(5)의 일반해는,

(12)

이를 식(2)의 형태로 다시 쓰면,

(13)

초기조건을 만족하는 것을 구하면 c₁=25, c₂=-25 가 된다. 

따라서 이 문제의 특수해는, 

(14)