적분 인자, Integrating Factor

적분 인자, Integrating factor 란 미분방정식이 완전(exact)하지 않을 때 완전미분방정식으로 만들어주기 위해서 곱하는 함수이다.


정의 - 적분인자

 이 not exact 하지 않고, 양변에 F를 곱한 함수 가 exact할 때, F를 적분인자(Integrating factor)라고 한다.



적분인자 구하는 법

PFdx + QFdy = 0 이 식에서 PF=M 이라 하고 QF=N 이라 하자. 이 미분방정식은 완전하기 때문에, 다음 식이 성립한다(Link).

M=PF, N=QF를 대입하자.

1. 우리가 구하는 적분인자 F가 x에 관한 함수라고 하자.

두번째 항은 F를 y에 대해 미분했으므로 0이 된다. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있다. 양변을 적분해주자. 그리고 편의상 P를 y로 편미분하면 Py로, Q를 x로 미분하면 Qx로 표시하겠다. 좌변을 적분하면, 양변에서 로그를 없애면, 이것이 x에 관한 적분인자 F의 답이 된다.

2. 우리가 구하는 적분인자 F가 y에 관한 함수라고 하자.

그러면 네번째 항은 F를 x에 대해 미분했으므로 0이 된다. 이후 위에서 했던 방식처럼 하면 F=F(y)를 구할 수 있는 식을 얻는다.

적분인자를 사용하여 ODE를 풀어보자.

 그리고 y(2)=1 이라는 조건이 주어졌다.
먼저 이 미분방정식이 exact 한지 알아보자. 먼저 P=x⁴+y² 이고, Q=-xy이다. 그래서 P_y=2y 이고, Q_x = -y가 된다. 두 함수가 같지 않으므로 exact 하지 않다.

그러면 적분인자를 구해보자. 적분인자가 x에 관한 함수인지, y에 관한 함수인지 모르므로 둘 다 구해본다.

먼저, F가 x에 관한 함수인 경우,

그리고 F가 y에 관한 함수인 경우,

적분인자 F가 x에 관함 함수일 경우 적분인자를 구할 수 있었으나, y에 관한 함수는 구할 수 없다. 따라서 적분인자F는 x에 관한 함수이고, 준식에 적분인자 F를 곱하자.

이제 준 식이 exact해졌다. 이제 완전 미분방정식 해법에 따라 풀어보자.

이제 u를 y로 미분한 것은 N이 되어야한다.

따라서 k'(y)=0 이다. 이제 일반해는 다음과 같다.

초기조건이 (2,1)로 주어졌다. c=2-1/8 = 15/8 이 된다. 즉 이 문제의 특수해는 다음과 같다.