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Mathematics/General Mathematics

행렬의 연산과 용어, Basics Matrices and Vectors

 이 글에서는 앞으로 상미분 방정식을 풀기 위한 행렬의 정의와 행렬의 연산, 그리고 행렬의 고유값과 고유벤터를 간단히 다룰 것이다. 


행렬의 정의, Matrix 


 행렬은 세로가 행column, 가로줄이 열row이다. 행과 열이 같으면 n차 행렬, n차 정방행렬이라 한다.


그리고 몇가지 행렬들을 정의해야한다.


항등행렬, 단위행렬, Identity matrix

 항등행렬은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선이 모두 1인 n차 정방행렬이다.


 항등행렬은 i=j 일때 1 이며, i≠j 일때 0인 함수이다.


영행렬, Null matrix

 영행렬은 모든 성분이 0인 행렬이다.


모든 m×n 행렬의 집합을 앞으로 Mm×n 으로 정의하겠다. 즉,



벡터, Vector

한 행과 한 열만 있는 행렬을 각각 행벡터, 열벡터 라고 한다.




행렬의 연산


1) 행렬의 합 : 두 Mm×n 인 행렬 A, B가 있다고 하자. 이들의 합인 C 행렬도 Mm×n이며, 각각은 다음과같이 정의된다.


 A=[aij]1≤i≤m, 1≤j≤n, B=[bij]1≤i≤m, 1≤j≤n 일 때 A + B = [cij]1≤i≤m, 1≤j≤n=이다.

여기서 cij = aij + bij 이다.


 2) 스칼라 곱. 행렬 Mm×n 에 실수 k를 곱한 행렬도 Mm×n 이며 아래와 같이 정의된다. 


kA =[kaij]1≤i≤m, 1≤j≤n


 3) 행렬의 곱

두 행렬 Mm×n Mn×l 있을 때, 이 둘의 곱은 Mm×l이며 아래와 같이 정의된다. 


A=[aij]1≤i≤m, 1≤j≤n, B=[bjk]1≤j≤n, 1≤k≤l 일 때, 곱 AB =[cik]1≤i≤m, 1≤k≤l 이다.


이때 cik는 다음과 같이 정의된다.


일반적으로 AB 와 BA는 같지 않아서 교환법칙이 성립하지 않는다. 하지만 A가 n차 행렬일 때 AI=IA으로 서로 같다.

 4) 행렬식, Determinant

A가 n차 행렬일 때, det A 를 A의 행렬식 이라고 한다. det A는 아래와 같이 정의된다.


 

 여기서 Dij는 i행과 j 열을 제외한 행렬의 행렬식이다. 또 Aij= (-1)i+jDij으로 정의하는 것이다.


 5) 역행렬

A가 n차 행렬일 때, AX=XA=I 을 만족하는 X를 A의 역행렬이라고 한다. 기호는 X=A-1이다. A의 역행렬이 존재하면, A는 가역행렬이다. 즉, det A가 0이 아니면 A는 가역행렬이 된다. A-1의 정의는 아래와 같다.


여기서 Aij= (-1)i+jDij 이다. 


 6) 전치 행렬, transposed matrix

  Mm×n인 행렬 A=[aij]가 있을 때 A의 전치 행렬은 At라 표시하고 아래와 같이 정의한다. 

At=[aji]∈ Mn×m

전치행렬의 몇가지 성질은 아래와 같다.

 -1) (At)t=A 

 -2) (A+B)t = At+Bt  

 -3) (kA)t= kAt

 -4) (AB)t=BtAt


 7) 대각합

 A가 n차 행렬일때 A의 대각합, trace는 아래와 같이 정의한다.


trace A = tr (A) = a11+a22+…+ann

대각합의 몇가지 성질은 아래와 같다.

 -1) tr(At) = tr(A)

 -2) tr(A+B) = tr(A) + tr(b)

 -3) tr(kA) = k tr(A)

 -4) tr(AB) = tr(BA) ≠ tr(A)tr(B)




 행렬의 고유값과 고유벡터, Eigenvalue & Eigenvector


 A가 n 차 행렬, X는 n×1 행렬(열행렬) 이며 λ는 스칼라값일 때


 AXλX

위 식을 만족하는 λ를 A의 고유값, Eigenvalue라고 하고, X 를 A의 고유벡터, eigenvector 라고 한다.


이 행렬의 고유값과 고유벡터를 구해보자.



정의에 따라 이렇게 되고, 우변을 좌변으로 넘기면,


 이 식을 만족하기 위해서는 (A-λI)가 역행렬이 없어야한다. 즉 det(A-λI)=0 이란 뜻이다.


즉 맨 아래 방정식을 만족하는 λ가 고유값이 된다. 그리고 이 식을 특성방정식 이라고 한다. 





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