여러가지 미분법

Chem_is_try 2009. 11. 5. 11:09

여러 함수들의 미분을 다루는데 있어서 가장 기본적인 다항식을 생각해보자.

$n\in N$ 일 때, 함수 $f(x)=x^{n}$ 라고 하자.
$f'(x)=Dx^{n}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$
$=\lim_{h\to 0}\frac{{\color{red} _{n}\textup{C}_{0} x^{n}}+_{n}\textup{C}_{1}x^{n-1}h+_{n}\textup{C}_{2}x^{n-2}h^{2}\cdots +_{n}\textup{C}_{n}x^{0}h^{n}{\color{red} -x^{n}}}{h}$
${\color{red} }=\lim_{h\to 0}\frac{{\color{red} h}}{{\color{red} h}}\, [nx^{n-1}+\frac{n(n+1)}{2}x^{n-2}{\color{red} h}+\frac{n(n+1)(n+2)}{6!}x^{n-3}{\color{red} h^{2}}\cdots +{\color{red} h^{n-1}}]$

$=nx^{n-1}$

이렇게 미분의 정의를 이용해서 함수들의 도함수를 구할 수 있다.

Thm 2.2.1 도함수의 기본 공식
$\100dpi y=f(x)$ 와 $\100dpi y=g(x)$ 가 미분가능할 때 다음 공식이 성립한다.

$\100dpi (\textup{i})$ $\100dpi (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$
$\100dpi (\textup{ii})$ $\100dpi (kf(x))'=kf'(x)$
$\100dpi (\textup{iii})$ $\100dpi (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$\100dpi (\textup{iv})$ $\100dpi \begin{pmatrix} \frac{f(x)}{g(x)} \end{pmatrix}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\begin{Bmatrix} g(x) \end{Bmatrix}^{2}}$

다항식의 미분에서 차수가 자연수일때만 했는데, 정수일 때도 성립하는 이유를 알아보자.

$\100dpi n\in Z$ 일 때, $f(x)=x^{n}$ 를 미분해보자.

$\100dpi (\textup{i})$ $\100dpi n=0$ 일 때, $\100dpi f(x)=1$ 이므로 미분하면 0이 된다.

$\100dpi (\textup{ii})$ $\100dpi m\in N$ 이고, $\100dpi n=-m$ 을 만족하는 $\100dpi m$ 을 가져오면
$\100dpi Dx^{n}=D\frac{1}{x^{m}}=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}$ 가 되므로,
차수가 정수일 때도 성립한다.

Thm 2.2.2 합성함수 미분법 (연쇄 법칙, 연쇄율, chain rule)
두 함수 $\100dpi u=g(x)$ , $\100dpi y=f(u)$ 가 미분가능이면
(즉, $\100dpi \frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x}$ 와 $\100dpi \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} u}$ 가 존재하면)

$\100dpi \Rightarrow$ $\100dpi \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\times \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$ 이다.
즉, $\100dpi (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ 이다.

보통의 함수들은 $\100dpi y=f(x)$ 처럼 표현되어 있다. 이렇게 한 변수가 다른 변수에 관한 식으로 표현된 형태를 양함수(explicit function)이라 한다. 하지만, 식을 한 변수에 대해서 정리하기 힘든 $\100dpi f(x)-y=0$ 식의 형태로 나타나 있을 때, 이런 형태를 음함수(implicit function)이라 한다.

$\100dpi f(x)-y=0$ 를 미분해보자.
$\100dpi f'(x)-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$ 이 된다.
이것을 $\100dpi \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 에 대해서 풀면
$\100dpi \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=f'(x)$ 가 된다.

※지금은 $\100dpi -y$ 형태로 음함수를 표현했지만, 꼭 $\100dpi -y$ 의 형태로 있으란 법은 없다.

다항식의 미분에서 차수가 유리수까지 확장되면 성립하는지 알아보자.
$\100dpi r\in Q$ 일 때, $\100dpi y=x^{r}$ 를 미분해보자.
$\100dpi r=\frac{p}{q}$ 로 잡자. ( $\100dpi p,q$ 는 정수이고, $\100dpi q\neq 0$ )
$\100dpi y=x^{\frac{p}{q}}\Rightarrow y^{q}=x^{p}$ 가 된다.

여기서 음함수 미분법을 사용하면

$\100dpi qy^{q-1}y'=px^{p-1}$ 가 된다.

이것을 정리하면
$\100dpi y'=\frac{p}{q}\frac{x^{p-1}}{y^{1-q}}$ 가 되는데, $\100dpi y=x^{\frac{p}{q}}$ 이므로
$\100dpi y'=\frac{p}{q}\, x^{p-1}(x^{\frac{p}{q}})^{1-q}=\frac{p}{q}\, x^{p-1}\cdot x^{\frac{p}{q}-p}$
$\100dpi =\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}=rx^{r-1}$ 가 된다.

함수 $\100dpi g$ 의 역함수를 $\100dpi y=f(x)$ 라고 하자. $\100dpi y=f(x)$ 의 양변에 함수 $\100dpi g$ 를 취하면 $\100dpi g(y)=g(f(x))$ 가 되고, $\100dpi f$ 와 $\100dpi g$ 는 역함수 관계이므로 $\100dpi g(y)=x$ 가 된다.
$\100dpi g(y)=x$ 양변을 $\100dpi x$ 에 대해 미분하면 우변은 1이고, 좌변의 도함수는
$\100dpi \frac{\mathrm{d} g(y)}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} g(y)}{\mathrm{d} y}\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}$
이 되므로,
$\100dpi \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}=1$ 가 된다.

Thm 2.2.3 역함수 미분법
$\100dpi \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}$

두 변수 $\100dpi x$ 와 $\100dpi y$ 가 매개변수(paramrter) $\100dpi t$ 에 관한 함수 $\100dpi x=f(t),\; y=g(t)$ 로 주어지는 매개방정식(parameter equation)일 때, $\100dpi \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 를 구하는 법을 알아보자.

$\100dpi \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 는 합성함수 미분법에 의해 $\100dpi \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$ 이다.

그리고 역함수 미분법에 의해 $\100dpi \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}$ 이 된다.

Thm 2.2.4 매개방정식 미분법
$\100dpi x=f(t),\; y=g(t)$ 이면, $\100dpi \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$ 이다.