완전 미분방정식, Exact ODEs

Mathematics/Ordinary Differential Equation

완전 미분방정식, Exact ODEs

Chem_is_try 2010. 5. 2. 18:33

정의 : 전미분, Total differential

$u=u(x,y)$ 를 전미분 하라는 것은 기호로 du로 나타내고,

$du := \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy = u_xdx + u_ydy$ 으로 정의한다.

ex)
$u=u(x,y) = x^2y+e^{xy}$ 를 전미분 하라.

sol. $du=u_xdx + u_ydy = (2xy+ye^{xy})dx + (x^2+xe^{xy})dy$

만약 u가
$u=u(x,y)=c$ 으로 어떤 상수로 주어진다면 전미분은
$du = u_xdx+u_ydy = 0$ 으로 되는데, 앞의 du부분을 제외하고 다시 식을 쓰면,

$\left\{\begin{matrix} u_x + u_y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0\\ \\ u_x\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}+u_y=0 \end{matrix}\right.$ 와 같은 두개의 1계 미분 방정식을 얻을 수 있다.

ex)
$(u=)x^2y+sinx=c$ 에서의 y'을 구하라.

먼저 전미분을 하고,
$(2xy+cosx)dx + x^2dy=0$

식을 정리한다.
$\therefore\: y' = \frac{-2xy-cosx}{x^2}$

완전 미분방정식, Exact ODEs.

완전 미분방정식의 정의

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 이 식이 완전(exact) 미분방정식이라면 다음과 필요충분조건이다.

$\Leftrightarrow$

어떤 $u=u(x,y)$ 가 존재해서, $\frac{\partial u}{\partial x} = u_x = M(x,y) ,\; \; \frac{\partial u}{\partial y} = u_y = N(x,y)$ 를 만족한다.

완전 미분방정식의 정리

$Mdx + Ndy = 0$ : 이 식이 완전(exact)일 때, 다음과 필요충분조건이다.

$\Leftrightarrow$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

ex) $(1+2xy^3)dx + 3x^2y^2dy = 0$ 이 식은 완전(exact)인가 ?

Sol.
$M = 1+2xy^3$ , $N =3x^2y^2$ 이다. M은 y로 편미분, N은 x로 편미분을 한다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6xy^2 =\frac{\partial N}{\partial x}$

∴ 완전이다.

완전 미분방정식의 해법

$Mdx + Ndy = 0$ 의 일반해는 u = c 의 형태이다.

1. $u_x = M$ 이므로, M을 x에 관해 편적분을 한다. 그리고 y에 관한 식이 상수형태로 붙어야한다.

$u = \int Mdx + k(y)$

2. $u_y = N$ 이므로, 1에서 적분한것을 y에 관해 편미분을 하면 N의 형태가 나와야한다.

$\frac{\partial }{\partial y} (\int Mdx) + k'(y) = N$

위의 식을 만족하는 k를 구한다.

3. 일반해는 다음과 같다.

$\int Mdx + k(y) = c$

ex) $(2xy + cosx)dx + x^2dy = 0$ 의 일반해를 구하라.

Sol.
$M = 2xy + cosx$ , $N = x^2$

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 이 성립하므로, 완전 미분방정식이다.

1. $u = \int Mdx + k(y) = \int (2xy + cosx)dx + k(y) = x^2y + sinx + k(y)$

2. $u_y = x^2 + k'(y) = N = x^2$
$\therefore \; k'(y)=0 , \; k(y)=c$

3. 따라서 일반해는 다음과 같다.
$x^2y + sinx = c$