1계 선형 미분방정식, First Order Linear ODE

Mathematics/Ordinary Differential Equation

1계 선형 미분방정식, First Order Linear ODE

Chem_is_try 2012. 1. 6. 19:08

선형 미분방정식, Linear ODE는 물리학등에서 나타나는 현상을 설명할 때 쓰인다. 1계 미분방정식이 선형적linear이라고 말한다면 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)$

그리고 이를 표준형standard form으로 쓴다면 다음과 같이 바뀐다.

$y'+p(x)y=f(x)$

여기서 y'=dy/dx이다. 1계라고 말하는 것은 최고 도함수가 1차 도함수이기 때문이고, 선형이라고 말하는 이유는 y가 전부 1승이기 때문이다.
만약 f(x)=0 이라면 우리는 제차homogeneous라고 말하고, f(x)≠0 이라면 비제차nonhomogeneous라고 말한다.

제차의 일반해

먼저 간단한 형태인 제차 1계 선형 미분방정식의 일반해를 구해보자. 이 ODE의 표준형은 다음과 같다.

$y'+p(x)y=0$

변수 분리법으로 형태를 바꾸면,

$\frac{1}{y}dy=-p(x)dx\: \Rightarrow \: \int \frac{1}{y}dy=\int -p(x)dx + \tilde{c}$

적분을 하면,

$\ln |y|=\int -p(x)dx + \tilde{c} \: \Rightarrow \: y=\pm e^{\int -p(x)dx + \tilde{c}}$

이제 정리를 하면 일반해가 얻어진다.

$y=ce^{-\int p(x)dx}$

$x^2y'+3xy=0$ 의 일반해를 구하라.

위 식을 표준형으로 바꾸면 다음과 같이 된다.

$y'+\frac{3}{x^2}y=0$

이제 $y=ce^{-\int p(x)dx}$ 식에 대입해서 풀면 일반해가 구해진다.

$y=ce^{-\int 3/x dx}=ce^{-3\ln x }=\frac{c}{x^3}$

비제차의 일반해

비제차의 일반해를 구해보자. 아래의 식은 비제차 1계 선형 미분방정식의 표준형이다.

$y'+p(x)y=f(x)$

형태를 바꾸어보자.

$(f(x)-p(x)y)dx - dy = 0$

이 식의 형태를 보면 완전 미분방정식exact ODE가 아니다. 이 식을 exact ODE로 만들기 위해서 적분 인자를 구하자.

$F=F(x)=e^{\int \frac{P_y-Q_x}{Q}dx}=e^{\int p(x)dx}$

이제 구한 적분인자를 표준형 ODE에 곱하자.

$e^{\int p(x)dx}\cdot y' + p(x)\cdot e^{\int p(x)dx}\cdot y= f(x)\cdot e^{\int p(x)dx}$

그런데 좌변은 곱의 미분법으로 미분된 형태임을 알 수 있다. 다시 써보면,

$\left [y\cdot e^{\int p(x)dx} \right ] '= f(x)\cdot e^{\int p(x)dx}$

양변을 적분하면,

$y\cdot e^{\int p(x)dx} = \int f(x)\cdot e^{\int p(x)dx}dx + c$

이제 양변을 좌변의 y의 계수로 나누어주면 일반해가 된다.

$y = {\color{DarkGreen} ce^{-\int p(x)dx} }+{\color{DarkOrange} e^{-\int p(x)dx}\cdot \int f(x)\cdot e^{\int p(x)dx}dx }$

이제 비체자 1계 선형 미분방정식의 일반해를 구했다. 그런데 일반해의 앞부분은 제차의 일반해와 같고, 뒷부분은 비제차의 특수해가 된다.