Signal Processing Techniques
실험 목적 : Ensemble, Boxcar, moving- window averaging을 이용한 Digital Filtering과 Fourier Transform을 이용한 Digital Filtering을 적용하여 신호 대 잡음 비 값을 향상 시킨다.
실험 원리
신호 대 잡음 비, Signal to noise ratio (S/N)
- 신호Signal와 잡음Noise
모든 분석 측정은 두 성분으로 이루어져있다. 한 성분은 분석하는 사람이 관심을 갖는 분석물에 대한 정보를 가진 신호Signal이며, 다른 한 성분은 원하지 않는 외부로부터 오는 정보로 분석의 정확도와 정밀도를 감소시키는 잡음Noise이다.
-신호 대 잡음 비, Signal to Noise Ratio
대부분의 측정에서 잡음(N)의 평균 세기는 신호(S)의 크기에 무관하고 일정하다. 따라서 측정의 상대오차에 미치는 잡음의 효과는 측정하는 양의 크기가 감소함에 따라 점점 더 커진다.
이러한 이유로 신호 대 잡음 비(S/N)는 분석방법의 성질 또는 기기의 성능을 설명하는 데 있어서 잡음만의 것보다는 훨씬 유익한 성능 계수가 된다.
잡음의 크기는 일반적으로 측정된 수 많은 신호 세기의 표준편차(s)라고 정의하고, 신호는 측정한 값의 평균값(
즉, S/N은 상대 표준 편차(relative standard deviation, RSD)의 역수라는 것을 알 수 있다. 일반적으로 S/N이 약 2 또는 3보다 작으면 신호를 사람의 눈으로 관찰하기가 불가능해진다. S/N이 3보다 크면 신호를 관찰할 수 있다.
기기분석에서 잡음의 원인들
- 화학 잡음, Chemical noise
분석하려는 계의 화학적 성질에 영향을 주는 조절할 수 없는 변수로부터 생기는 잡음
- 화학평형의 위치에 영향을 주는 온도 또는 압력의 검출할 수 없을 정도의 작은 변동
- 상대 습도(시료의 수분함량 변화)의 변동
- 진동(분말 고체를 단층화시킴)
- 빛(빛에 감응하는 물질에 영향)의 세기 변화
- 실험실 증기(시료 또는 시약과 상호작용)
- 기기 잡음, Instrumental noise
기기의 각 부분장치, 즉 광원, 입력변환기, 모든 신호처리장치 및 출력변화기 등에서 나오는 잡음
1. 열적 잡음, Thermal noise(Johnson noise)
전자 또는 하전체가 저항, 케페시터, 복사선 변환기, 전기화학전지, 기타 기기의 저항 회로 소자 속에서 열적 진동을 하기 때문에 생기는 잡음이다.
무작위한 하전입자의 진동운동으로 주기적으로 전하 불균형이 생기게 되고, 따라서 전압변동을 일으키게 되는데 이것이 판독장치에서 잡음으로 나타난다.
열적 잡음은 저항 소자에 전류가 흐르지 않는 경우에도 존재하며 단지 절대온도 0 K에서만 존재하지 않는다.
저항 소자의 열적 잡음의 크기는 열역학적으로 쉽게 유도하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
열적 잡음은 띠나비(Δf)를 줄이므로써 감소시킬 수 있다. 그러나 띠나비가 줄어듬에 따라 기기는 신호변화에 더 느리게 감응하고 신뢰도 있는 측정을 하는데 시간이 많이 걸리게 된다. 또한 기기회로의 전기저항을 낮춤으로써, 기기부분장치의 온도를 낮춤으로써 잡음을 감소시킬 수 있다. 열적 잡음은 주파수의 띠나비에 의존하고 주파수 자체에는 무관하다. 그래서 이를 모든 가시선을 포함하는 백색광에 비유해 백색 잡음, White noise라고 부른다.
2. 산탄 잡음, Shot noise
전자 또는 다른 하전입자가 접촉계면을 가로지를 때 항상 나타나는 잡음. 이러한 접촉 계면은 보통 전자회로의 pn의 계면에서 볼 수 있고, 광전지와 진공관의 경우에는 양극과 음극 사이의 진공으로 된 공간을 말한다. 전류는 접촉계면을 지나는 일련의 양자화된 입자의 흐름, 이를테면 전자의 이동 때문에 발생한다. 하지만 이 전자의 흐름은 무작위로 진행되고 그 발생 속도는 통계적 요동에 따르기 마련이다. 그래서 전류 요동의 크기는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.
irms : I의 전류 요동의 근평균 제곱, I : 평균 직류 전류, e : 1.60×10-19 C, 전자의 전하, Δf : 고려하고 있는 주파수의 띠나비
산탄 잡음도 주파수와 무관하기 때문에 백색 잡음이다. 전류 측정에서 나타나는 산탄잡음은 단지 띠나비로 감소시킴으로써 최소화할 수 있다.
3. 깜박이 잡음, flicker noise
신호의 주파수에 역비례하는 크기를 가지는 잡음으로 1/f 잡음이라고도 한다. 깜박이 잡음의 원인은 잘 알려져 있지 않다. 그러나 언제 어디에서나 존재하는 것은 주파수 의존성으로부터 알 수 있다. 깜박 잡음은 100Hz 이하의 낮은 주파수에서 심하다. 이 잡음은 흔한 탄소-조성의 저항기 보다는 선을 감은 저항 또는 금속 필름 저항을 사용함으로써 감소시킬 수 있다.
4. 환경 잡음, Environmental noise
주위로부터 생기는 다양한 형태의 잡음이다. 기기장치에서 각 도체는 전자기복사선을 수신하여 전기신호로 변환시킬 수 있는 잠재적인 안테나이기 때문에 많은 환경잡음이 생기게 된다. ac 전력선, 라디오, TV, 가솔린 엔진 점화장치, 스위치의 아크, 전기모터의 브러쉬, 이온층 교란 등과 같은 환경중에서 전자기 복사선의 수많은 원인이 존재한다.
신호 대 잡음 비의 개선
- 잡음을 줄이는 하드웨어 장치
1. 접지,Grounding와 가로막기,Shielding
주위에서 발생하는 전자기 복사선으로 인해 생기는 잡음을 감소시키는 방법이다. 가로막기는 회로나 회로에 있는 도선을 접지되어 있는 전도성 물체로 둘러싸는 것으로 전자기 복사선은 둘러쌓인 도체보다 가로막기에 의해 흡수된다. 따라서 잡음이 생기는 것을 최소화 할 수 있다.
2. 시차 및 기기장치 증폭기, Difference and instrumental amplifiers
-시차 증폭기
변환기 회로에서 나타나는 공통 방식의 잡음은 증폭기의 전환 입력 및 비전환 입력 양쪽에 같은 위상으로 나타난다. 따라서 회로에서 대부분 상쇄되므로 출력에서 잡음이 많이 감소된다.
-기기장치 증폭기
세 개의 연산증폭기로 구성되어 있어 2개는 3개의 저항과 교차 연결되어 있으며 입력 단계를 이룬다. 다음 단계는 나머지 1개 연산 증폭기의 시차 증폭기이다. 증폭기 전체 증폭률은 하나의 저항을 변화시켜 조절할 수 있고, 두번째 시차 단계에서 공통 방식 신호를 제거한다.
3. 아날로그 필터, Analog filtering
- 저주파 통과 아날로그 필터, low-pass filter
서서히 변하는 dc 신호에서 열적 잡음이나 산탄 잡음을 감소시킨다.
- 고주파 통과 아날로그 필터, high-pass filter
표류와 다른 저주파 깜박이 잡음의 영향을 감소시킨다.
- 좁은 띠 전자 필터, narrow-band electronic filter, band-pass filter
예상 되는 신호 주파수의 영역 밖에 있는 잡음을 감소시킨다.
4. 변조, Modulation
저주파 또는 dc 신호를 직접 증폭하는 경우 표류와 깜박 잡음때문에 특히 영향을 받는다. 따라서 저주파 또는 dc 신호를 1/f 잡음으로 거의 방해를 받지 않는 고주파로 변환시킨다. 이러한 과정을 변조라고 한다. 증폭 시킨 후, 변조된 신호는 고주파-통과 필터로 걸러서 증폭기 1/f 잡음을 제거한다. 그 다음 원상태로 복조 시키고 저주파 통과 필터로 걸러 출력으로 알맞은 증폭된 dc 신호를 만들어낸다.
5. 맞물린 증폭기, Lock-in amplifiers
분석 신호와 같은 주파수와 일정한 위상 관계를 갖는 기준신호와 맞물린 신호들만 증폭되고 복조되어 비교적 잡음이 없다. 여러가지 주파수와 위상이 많은 신호들은 계에서 제거된다.
-소프트웨어적 방법 : 컴퓨터 프로그램 이용
1. 종합적 평균법, Ensemble averaging, signal averaging
데이터를 모아 합산한 후에 각점의 합계를 주사 횟수로 나누어 데이터의 평균값을 구하는 방법이다. dc 신호(S)의 크기를 n번 반복 측정하고 다음 식으로 평균값을 계산한다.
Si(i= 1, 2,…, n) : 잡음을 포함한 각 신호의 측정값. 각각의 측정에 대한 잡음은 Si-Sx가 된다. 그리고 rms 잡음은 다음 식과 같다.
전체 신호Sn, 전체 가변도σn2, 전체 rms 잡음σn은 각각 다음과 같다.
따라서 n번 반복 측정 후 신호 대 잡음 비(S/N)n은 다음과 같다.
즉 S/N이 종합적 평균법을 이용하면 수집된 데이터 수의 제곱근에 비례해서 증가함을 알 수 있다.
위의 그림에서 빨간색 그래프는 1번 측정했을 때의 결과값이다. 잡음이 심해서 정확한 신호가 어디인지 알아보기 힘들다. 파란색 그래프는 200번 측정한 후 종합적 평균법을 이용해 그린 그래프이다. 잡음이 서로 많이 상쇄가 되었음을 알 수 있다.
n |
S/N | S/N enhance |
1 |
3.02 | 1 |
3 |
5.39 | 1.78 |
5 |
6.53 | 2.16 |
10 |
9.51 | 3.15 |
20 |
13.02 | 4.31 |
100 |
28.9 | 9.57 |
표는 그림1을 그렸던 프로그램으로 구한 종합적 평균법을 n번 시행했을 때 얻어지는 S/N 값이다. 아까 위에서 S/N의 증가량은 n의 제곱근에 비례한다고 했다. 즉 다음 식과 같이 된다.
따라서 n 제곱근을 x 축, S/N 증가량을 y축으로 두고 그래프를 그리면 그림 2와 같다. 위의 식과 같이 기울기가 1임을 식으로 통해 예상할 수 있고, 실제로 그래프도 기울기가 1임을 알 수 있다.
종합적 평균법의 이점을 살리고 분석물의 파형에서 이용할 수 있는 모든 정보를 취하려면 분석 파형의 최대 주파수보다 적어도 두 배 이상 주파수로 점들로 취하여 측정할 필요가 있다.
Nyquist 채취이론 : 띠나비가 제한된 신호인 경우, 채취는 적어도 대상 신호의 가장 높은 주파수 f의 두 배되는 주파수로 해야한다. 즉, 데이터 획득 주파수는 적어도 f=1/2Δt 여야 한다. (Δt : 신호 채취 사이의 시간 간격)
Nyquist 주파수보다 더 큰 주파수로 채취하더라도 의미있는 추가적인 정보를 얻을 수 없고 실제로 바람직하지 않은 잡음만 들어오는 것을 aliasing이라고 한다.
2. 소집단 평균법, Boxcar averaging
불규칙한 잡음으로 인해 생기는 불규칙한 파형을 매끄럽고 고르게 S/N을 향상시키는 디지털 방법이다. 아날로그 분석신호는 시간에 따라서만 매우 서서히 변하고, 이웃한 몇 개의 점을 평균하여 얻은 평균값은 어떤 단일 측정점보다 더 분석신호를 잘 나타낸다고 가정한다.
새로운 점은 인접한 두 점을 더해 세 점의 값을 평균한 것으로 얻는다. 이 방법은 신호의 미세 구조를 잃어버리게 하므로 시간의 함수에 따라 빠르게 변화하는 복잡한 신호에 이용할 때는 제한을 받는다.
3. 이동 평균법, Moving window averaging
점 1,2,3,4,5 가 있으면 이 점 5개를 평균해 3에 표시하고, 점 2,3,4,5,6 을 평균해 점 4에 표시하는 방법이다. 마지막 두 점을 제외한 모든 점까지 반복하여 그 점을 선으로 연결한다. 고르기 함수의 나비를 증가하거나 데이터 고르기를 여러번 반복하면 S/N이 증가한다. 그러나 중앙 데이터로부터 멀리 떨어져 있는 데이터에 너무 많은 가중치가 생기게 되어 중앙 데이터에 가중치를 두는 최소 제곱 다항식 고르기법, least-square polynominal data smoothing을 최근에 가장 널리 쓰고 있다.
4. Fourier 변환법
시간 영역 신호를 시간 함수 대신 독립변수가 주파수 영역인 신호로 변환시킨다. 변환시킨 함수에서 불필요한 주파수 영역을 없앤 후 다시 역 Fourier 변환을 하면 잡음이 제거된 신호를 얻을 수 있다.
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왼쪽의 그림은 사인 그래프 5개를 더한 그래프로, x축은 시간 축이다. 오른쪽 그림은 왼쪽의 그림을 Fourier 변환을 해서 주파수 영역을 x 축으로 삼은 것이다. 이를 우리가 원하는 영역만 보기 위해 관심이 있는 주파수보다 낮고, 높은 부분을 필터로 걸러내면 아래의 왼쪽 그래프가 된다.
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왼쪽의 그림은 필터로 걸러낸 후의 그래프이다. 이제 이를 역 Fourier 변환을 하면 오른쪽 그래프가 얻어진다. 오른쪽 그래프에서 연두색은 원래의 데이터이며, 파란색 그래프가 Fourier 변환을 통해 걸러낸 그래프이다.