완전 미분방정식, Exact ODEs

정의 : 전미분, Total differential

를 전미분 하라는 것은 기호로 du로 나타내고,

 으로 정의한다.

ex)
를 전미분 하라.

sol.   


만약 u가
 으로 어떤 상수로 주어진다면 전미분은
으로 되는데, 앞의 du부분을 제외하고 다시 식을 쓰면,
 
 와 같은 두개의 1계 미분 방정식을 얻을 수 있다. 


ex)
에서의 y'을 구하라.

먼저 전미분을 하고,
 

식을 정리한다.
 

 

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완전 미분방정식, Exact ODEs.

완전 미분방정식의 정의

이 식이 완전(exact) 미분방정식이라면 다음과 필요충분조건이다.   어떤  가 존재해서, 를 만족한다.

완전 미분방정식의 정리

: 이 식이 완전(exact)일 때, 다음과 필요충분조건이다.

ex)  이 식은 완전(exact)인가 ?

Sol.
,  이다. M은 y로 편미분, N은 x로 편미분을 한다.

∴ 완전이다.

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완전 미분방정식의 해법

 의 일반해는 u = c 의 형태이다.

1.  이므로, M을 x에 관해 편적분을 한다. 그리고 y에 관한 식이 상수형태로 붙어야한다.

   

2.  이므로, 1에서 적분한것을 y에 관해 편미분을 하면 N의 형태가 나와야한다.

 

위의 식을 만족하는 k를 구한다.


3. 일반해는 다음과 같다.

 

ex)  의 일반해를 구하라.

Sol.
,  

 이 성립하므로, 완전 미분방정식이다.

1.

2.
 

3. 따라서 일반해는 다음과 같다.