1계 선형 미분방정식, First Order Linear ODE

 선형 미분방정식, Linear ODE는 물리학등에서 나타나는 현상을 설명할 때 쓰인다. 1계 미분방정식이 선형적linear이라고 말한다면 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 그리고 이를 표준형standard form으로 쓴다면 다음과 같이 바뀐다.

 여기서 y'=dy/dx이다. 1계라고 말하는 것은 최고 도함수가 1차 도함수이기 때문이고, 선형이라고 말하는 이유는 y가 전부 1승이기 때문이다.
 만약 f(x)=0 이라면 우리는 제차homogeneous라고 말하고, f(x)≠0 이라면 비제차nonhomogeneous라고 말한다. 

---

제차의 일반해

 먼저 간단한 형태인 제차 1계 선형 미분방정식의 일반해를 구해보자. 이 ODE의 표준형은 다음과 같다.

변수 분리법으로 형태를 바꾸면,

적분을 하면,

이제 정리를 하면 일반해가 얻어진다.

 의 일반해를 구하라. 위 식을 표준형으로 바꾸면 다음과 같이 된다. 이제 식에 대입해서 풀면 일반해가 구해진다.

---

비제차의 일반해

비제차의 일반해를 구해보자. 아래의 식은 비제차 1계 선형 미분방정식의 표준형이다.

형태를 바꾸어보자.

이 식의 형태를 보면 완전 미분방정식exact ODE가 아니다. 이 식을 exact ODE로 만들기 위해서 적분 인자를 구하자.

이제 구한 적분인자를 표준형 ODE에 곱하자.

그런데 좌변은 곱의 미분법으로 미분된 형태임을 알 수 있다. 다시 써보면,

양변을 적분하면,

이제 양변을 좌변의 y의 계수로 나누어주면 일반해가 된다.

이제 비체자 1계 선형 미분방정식의 일반해를 구했다. 그런데 일반해의 앞부분은 제차의 일반해와 같고, 뒷부분은 비제차의 특수해가 된다.