Bernoulli differential equation 베르누이 미분 방정식

 모델링을 통해 만들어진 상당수의 상미분방정식ODE은 비선형적nonlinear이다. 하지만 적당한 변수 변환을 통해 선형 ODE를 만들 수 있다. 그중 가장 유용한 것 중 하나가 바로 Bernoulli differential equation 베르누이 미분 방정식이다. 미분방정식이 다음 형태일 때 Bernoulli equation이라고 한다.

이 때, α=0 or 1이면 이 방정식은 선형이지만, 0과 1이 아닌 모든 정수에 대해서 비선형이 된다. 이런 비선형 미분방정식의 Bernoulli의 해법은 u=y^1-α로 치환하는 것이다. 그리고 미분을 하면, 다음과 같이 된다

그리고 y'의 자리에 베르누이 식을 대입하면 다음과 같이 된다.

식을 전개하면,

그리고 위 식에서 y^1-α를 u라고 했으므로 치환하면, 

선형 ODE가 얻어졌다. 이제 이 ODE를 u에 대한 함수로 푼 다음에 다시 y로 바꾸어주면 답이 된다.

다음 식을 풀어보자. α=2 인 Bernoulli differential equation이다. u=y1-α=y-1로 치환하고, 미분해보자. 다음과 같은 Linear ODE를 얻었다. 이를 풀면, (1계선형미분방정식 풀이법Link) 이제 u를 원래 변수인 y-1로 바꾸어서 정리해주고, 초기조건을 대입해주면 다음과 같은 답이 나온다.