계수 축소법 Reduction of order

 어떤 방법을 사용해서든지 우리가 미분방정식의 한 해를 알아냈다고 하자. 그러면 2계 미분방정식이라면 일차 독립인 다른 해가 하나 더 존재하는데, 1계 미분방정식을 풀어서 구할 수 이다. 이런 방법을 계수 축소법Reduction of order이라고 한다. 

위 미분방정식의 한 해를 y₁이라고 하자. 그리고 y₁과 일차 독립인 해를 y₂라고 하자. y₂는 여러가지 형태가 있겠지만 이 중에서 다음 형태의 해를 생각하자. (여기서 u는 상수가 아니다.)

이때 y₂를 한번 미분한 것은,

y₂를 두번 미분 한 것은,

그러면 y₂는 미분방정식의 해이므로, 미분방정식에 대입을 하자.





 
그런데, 위 식에서 보라색 부분은 미분방정식에서 0으로 정의했던 부분으로 없어지면 다음 부분만이 남게 된다.

그러면 위 식에서 로 치환을 하자. 그러면 식은 다음과 같이 변한다.

같은 변수끼리 묶어주면,

적분을 하자.

적분의 결과는 다음과 같다.

 

그리고 우리가 로 치환을 했으므로 원래 변수인 u로 바꾸어주면,

미분된 형태이므로 적분을 하게 되면 우리가 원하는 u를 구할 수 있다.

이제  의 일반해는 다음과 같다.

 의 한 해는  이다. 계수 축소법으로 다른 한 해를 구하자. 먼저, 표준형으로 미분방정식을 바꿔야한다. 그러면 p(x)를 알게 되었으니 u를 구하면, 따라서, 위 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

의 한 해는 이다. 계수 축소법으로 다른 한 해를 구하자. 먼저, 표준형으로 미분방정식을 바꾸면,  u를 구하면, 따라서 일반해는 다음과 같다.