2계 선형 미분방정식, Second-Order Linear ODE

 상미분 방정식Ordinary differential equation(ODE)은 선형linear ODE와 비선형nonlinear ODE으로 크게 나눌 수 있다. 2계(및 고계) 비선형 미분방정식은 일반적으로 풀기가 어렵지만 선형 미분방정식은 일반적으로 풀 수 있는 방법이 여러가지가 있다. 2계 선형 미분방정식의 해법은 1) 계수 축소법Reduction of order 2)상수 계수를 갖는 2계 선형 제차의 일반해를 구하는 방법과 오일러-코시 방정식Euler-Cauchy Equation 3)2계 선형 비제차의 특수해를 구하는 미정계수법Method of undetermined coefficient과 매개변수 변화법Variation of parameter이 있다.

---

 2계 미분 방정식Second-Order ODE이 선형적linear하다고 말하는 것은 다음과 같이 쓸 때이다.

이 때 우변의 f(x)가 0이면 제차, 0이 아니면 비제차라고 한다. 

 y''+y=0 이런 식을 우리는 2계 선형 제차 미분방정식이라고 한다.
이것의 해는 y₁=cosx, y₂=sinx, y₃=cosx+sinx 등이 있게 된다.
이때 y₃은 y₁과 y₂의 합으로 구성된 것을 알 수 있다. 이런 것을 중첩의 원리Superposition principle 또는 선형성의 원리Linearity principle라고 한다.

정리. 중첩의 원리Superposition principle (선형성의 원리Linearity principle)

 가 위 식의 해라고 하자. 그렇다면, 각각의 해를 상수배 해서 더한 것도 해가 된다.

 ; 도 위 식의 해가 된다.

증명 하는 방법은 대입하면 된다. 위의 해를 위 식에 대입해보면,



 

다만 중첩의 원리는 비제차인 경우에는 만족하지 않는다. 그 예로,
y''+y = 1 의 해에는
y₁=1, y₂= 1+ cosx, y₃=1- 3sinx 등이 해가 된다. 하지만 y₁-y₂=-cosx 는 해가 아님을 알 수 있다.

---

일차 독립Linear Independent, 일차종속Linear Dependent, 기저Basis

 2계 선형 제차 미분방정식에서는 2개 이상의 함수가 미분방정식의 해가 될 수 있다. 그렇다면, 미분방정식의 해를 어떤 것으로 해야할까? 그것을 정하기 위해서 먼저 일차 독립과 일차 종속에 대해서 정의를 하자.

일차 독립Linear Independent, 일차종속Linear Dependent

 두 함수가 구간 I에서 일차 독립 Linear Independent이라 한다면,
 이 식을 만족하는 경우는   밖에 없고,
두 함수는 서로 상수배가 아니다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다(이때 k는 상수이다).

y=1 과 y=x는 R에서 일차 독립이고, y=cosx와 y=sinx도 R에서 일차 독립이다.

반대로  두 함수가 구간 I에서 일차 종속 Linear Dependent이라 한다면
두 함수는 서로 상수배이다. 즉,

y=sin2x 와 y=sinx·cosx는 R에서 일차 종속인 함수이다. 

위 함수의 해 중에서 y₁과 y₂가 일차 독립인 것을 해의 기저Basis라고 한다.

그리고 비제차를 만족하는 y_p를 특수해라고 한다.

먼저 제차의 일반해는 가 된다. 여기서 h는 homogeneous에서 나왔다. 만약 어떤 함수 Y가 제차의 해가 된다면 를 만족시키는 c₁과 c₂가 항상 존재한다. 즉, 제차의 해는 모두 일반해로부터 얻을 수 있는 특수해particular solution이며, 일반해로부터 얻을 수 없는 해인 특이해singular solution은 없다.

비제차의 일반해는 제차의 일반해와 비제차의 특수해의 합으로 이루어진다. 즉,