미분 방정식 (Differential Equations)

 미분 방정식(Differential Equation, D.E.)의 정의
도함수를 포함하는 방정식.

ex), , 

 미분 방정식의 분류

 I 유형(type)에 의한 분류
  1. 상미분 방정식 (Ordinary D.E., O.D.E.)
   하나의 독립변수에 관한 하나 이상의 종속변수의 도함수를 포함하는 미분방정식

ex) ,


  2. 편미분 방정식 (Partial D.E., P.D.E.)
   두개 이상의 독립변수에 관한 하나 이상의 종속변수의 편도함수를 포함하는 미분방정식

ex)   : Laplace eq.


 II. 계수(order)와 차수(degree)에 의한 분류
  1. 계수(order) : 최고 도함수의 계수
  2. 차수(degree) : 최고 도함수의 차수 (정수멱)

ex)  : 3계, 4차
       : 2계, 1차 


 III. 선형성(Linearity)에 의한 분류
  정의, n계 선형 미분 방정식
  는 만의 함수이고 아래와 같은 모양이면 선형(linear), 아니면 비선형(nonlinear)이라 한다.

  만약 이면 제차(homogeneous), 이면 비제차(nonhomogeneous)라 한다.


음함수, 양함수의 정의
미분 방정식의 음함수 형태 :
미분 방정식의 양함수 형태 :


정의
의 해를 라 할때, 는 다음을 만족한다.
 i) 는 n번 미분가능하다.
ii)

해의 종류
1) 일반해 (general solution) : 임의의 상수를 포함하는 해
2) 특수해 (particular solution) : 일반해로부터 얻을 수 있는 해
3) 자명해 (trivial solution) : ex)
4) 특이해 (singular solution) : 일반해로부터 얻을 수 없는 해


정의
해의 곡선(Solution Curve)은 해의 그래프를 의미한다.