지금까지는 제차 선형 미분방정식의 일반해만 구했었다. 이번 글에서는 2계 비제차 선형 미분방정식을 푸는 방법 중 하나인 매개변수 변화법Variation of Parameters을 사용해 특수해를 구하고자 한다.
이를 위 식에 대입하기 위해서 미분을 하자.
이 때, 이라고 가정하면 다음과 같이 식이 간단해진다.
한 번 더 미분하면,
이를 비제차 미분방정식에 대입하면,
초록색과 파란색의 문자는 제차의 해를 대입한 것이므로 0이 되기 때문에 없어진다.
그러면 아까 조건으로 삼았던 이것과 지금 나온 두 식을 연립하면 u'과 v'을 구할 수 있다. 즉,
이 연립 방정식의 해를 구하면 된다. 연립방정식은 아래와 같이 행렬로 쓸 수 있다.
연립방정식을 행렬로 풀기
왼쪽과 같은 연립방정식이 있다면 오른쪽과 같이 행렬로 쓸 수 있다. 앞의 2×2 행렬을 A라고 한다면, det A가 0이 아닐 때 아래의 A의 역행렬이 존재한다.
이 역행렬을 양변에 곱하면 x,y에 관한 식을 바로 얻을 수 있다.
그런데 행렬 안에 있는 df-bg와 ag-fc는 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.
따라서, x와 y는 아래처럼 구할 수 있다.
이제 우리가 구하고자 했던 연립방정식을 위와 같이 행렬로 다시 썼다. 이제 구하고자하는 u'과 v'는 아래와 같다.
이제 이 둘을 아래와 같이 간략히 쓰겠다.
그러면, u와 v는 이 둘을 적분하면 구할 수 있다.
따라서 맨 처음 구하고자 했던 형태의 특수해는 아래와 같다.
예) 의 일반해를 구하라.
먼저 제차의 해는 다음과 같다.
비제차의 특수해를 구하자. 먼저 W(y1,y2)의 값을 구하면,
그리고 W1과 W2의 값을 구하자.
이어서 u와 v를 구하자.
따라서 특수해는 다음과 같다.
'Mathematics > Ordinary Differential Equation' 카테고리의 다른 글
선형 연립 미분 방정식, Systems of ODE (2) | 2014.12.15 |
---|---|
상수 계수를 갖는 고계 선형 제차 상미분방정식, Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficient (0) | 2014.10.06 |
비제차 선형 ODE : 미정계수법, Method of Undetermined Coefficients (1) | 2014.07.28 |
Wronskian (0) | 2014.07.27 |
Euler-Cauchy Equations (0) | 2014.07.27 |