스펙트럼 선의 세기 (The intensities of spectral lines)

어떤 특정 주파수를 가진 빛을 어떤 물질에 비춰준다고 하자. 그 물질을 투과하고 나오는 빛이 있을 것이다. 비추어준 빛, 즉 입사 복사선의 세기(incident intensity)를 라 하고, 투과하고 나오는 투과된 복사선의 세기(transmitted intensity)를 라고 하자. 이 둘의 비를 투과도(transmittance, T)라고 한다.

여러 실험 결과에 의하면, 투과된 복사선의 세기는 시료의 길이 b와 빛을 흡수하는 흡수종의 농도 c에 따라 다르며, 다음과 같은 Beer-Lambert 법칙을 따른다.

여기서 은 몰 흡광 계수(molar absorption coefficient)이다. 몰 흡광 계수는 입사 복사선의 진동수에 따라 다르며, 가장 세게 흡수되는 진동수에서 최대치를 갖는다. 몰 흡광 계수의 단위는 1/(농도×길이)이며, 일반적으로 M^-1cm^-1을 쓰는 것이 편리하며 cm²mol^-1을 쓰기도 한다. 이 단위는 이 몰 흡광 단면적과 같다는 점과 또 분자의 흡광 단면적이 클수록 입사 복사선의 세기가 더 크게 작아진다는 점을 알 수 있다.

 아래의 식과 같이 주어진 진동수에서의 빛을 흡수하는 정도인 시료의 흡광도(absorbance, A)를 정의하자.

흡광도를 정의하면 Beer-Lambert 법칙은 다음과 같이 간단하게 표현된다.

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Beer-Lambert 법칙 유도

빛을 흡수하는 화학종의 농도가 c가 길이가 db인 용기에 담겨져 있다. 입사광의 세기는 I 이며, db를 지나면서 dI만큼 세기가 약해졌다. 이것을 식으로 쓰면 다음과 같다.

위 식에서 κ는 비례상수이다. 양변을 I로 나누면

그리고 실제 시료는 길이가 b이며, 입사광의 세기는 I₀, 투과광의 세기는 I라고 하자.

이제 좌변을 I₀부터 I까지, 우변을 0부터 b까지 적분을 하자.

적분을 하면 결과는,

여기서 ln을 log로 바꾸면 다음과 같다.

이제 몰흡광계수와 흡광도를 각각 다음가 같이 정의하자.

그리고 바로 위의 식을 정리하면 Beer-Lambert 법칙이 얻어진다.

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몰 흡광 계수의 최대치라 하며, 전이의 세기를 낱내는 한 방법이다. 그리고 는 딱 하나의 파수를 가진 빛에서 정의되는 것이지만, 모든 파수에 대한 흡광계수의 합을 구하면 이를 적분 흡광 계수 (Integrated absorption coefficient, A)라고 한다.  

적분 흡광 계수는 다음과 같이 구한다.