질량과 용수철-자유진동

상수 계수를 가지는 선형 상미분방정식은 역학에서 중요하다. 뉴턴의 제 2법칙과 후크의 법칙을 통해서 질량을 가진 물체가 용수철에 매달려서 자유진동하는 것을 수식으로 표현하겠다.

오른쪽 그림처럼, 용수철 상수가 k 인 용수철과 용수철에 매달려 있는 질량이 m 인 물체가 있다.

 이제 이 용수철이 진동하는 것을 아래 그림과 같이 생각해보자. 원래 위치로부터 멀어진 거리를 y라 하자. 

이제 뉴턴의 제2법칙과 후크의 법칙을 통해 자유진동을 표현해보자.

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감쇠력이 없는 경우

이제 두 식은 아래와 같이 표현된다.

Newton의 2법칙 : F = ma

Hooke의 법칙    : F = -kx

F는 힘, m은 질량, a는 가속도, k는 용수철 상수, x는 거리이다.

이 때, a는 거리를 시간에 대해서 두번 미분한 것이고, 이제 거리는 x가 아닌 y로 표시한 후 두 식을 같다고 놓으면 아래의 식이 나온다.

이를 한 변으로 넘겨서 정리하면,

이는 상수 계수를 갖는 2계 선형 제차 상미분방정식이 된다. 링크한 게시글의 풀이법에 따라 특성 방정식은 다음과 같다.

따라서 해는 다음과 같다. 

(k/m)^1/2을 w로 정의하겠다. 그러면 위의 일반해는 다음과 같다.

이때, 으로 정의되는 값이다.

x축은 시간 t, y축은 거리 y로 두고 그린 그래프이다. 즉 아무런 저항이 없는 자유 진동일 때는 전형적인 사인 그래프를 보여준다.

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감쇠력이 있는 경우

이제 감쇠력이 있다고 가정하자. 물리적으로 감쇠력은 속도 v에 비례한다. 이를 F=-cv로 표현하겠다. c는 감쇠 상수, v는 속도이다. 속도 v는 y를 시간에 대해서 한 번 미분한 것과 같으므로 다음과 같이 비감쇠인 경우의 식을 바꿀 수 있다.

이를 한 변으로 넘기면,

이를 해를 구하기 위해 특성방정식을 표현하면,

이제 특성 방정식의 해는 다음과 같다.

이를 표현하는 일반해는 총 세가지가 있게 된다.

1) c²-4km > 0 일 때 : 과감쇠

일반해는 두 해로 표현하자.

이를 정리하면,

시간이 지남에 따라, 즉 t→∞ 가 되면 위의 값은 0 이 됨을 알 수 있다.

2) c²-4km = 0 일 때 : 임계점 감쇠

일반해는 다음과 같이 된다.

이 역시 시간에 지남에 따라,  t→∞ 가 되면 0으로 수렴한다. 

3) c²-4km < 0 일 때 : 저감쇠

이제 특성방정식의 해는 λ=-α±βi로 표현된다. 이는 cos과 sin의 합으로 표현될 수 있으므로, 일반해는 다음과 같다.

이를 시간이 지남에 따라 어떻게 되는지 그래프로 표현해보면 아래와 같이 된다.

즉 감쇠력이 작용하면, 용수철은 결국에 진동을 멈추게 됨을 알 수 있다.