불확정성의 원리, The uncertainty principle

만약 파동함수가 1차원 자유입자인 $\80dpi \psi =Ae^{ikx}$ 이라면, 운동량은 다음과같이 구한다.

$<p_x> = (-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})(Ae^{ikx})=k\hbar\cdot Ae^{ikx}$

연산자를 정규화된 파동함수에 곱하면 파동함수의 실수배가 되는데, 여기서 실수에 해당하는 값이 연산자의 관측가능한 양에 해당한다. 즉, 1차원 자유입자의 운동량은 $\80dpi k\hbar$ 로 운동량은 '정확하게' 알 수 있다. 하지만 운동량을 정확하게 알 수 있다면, 이 입자가 어디에 있는지는 알 수 없게된다. 그 이유는 파동함수를 제곱하여 확률밀도함수를 구하면 상수가 되기 때문이다.

$\psi ^*\psi = (Ae^{-ikx})(Ae^{ikx})=A^2$

즉, 아래의 그래프처럼 '어느 곳에서나 발견할 확률이 A² 으로 일정하게 된다.

'어느곳에서나 입자를 발견할 확률이 같다'는 말은 다시말해서 '어디있는지 모른다' 라는 뜻이 된다.

중첩, Superposition

일차원 자유입자의 두 파동함수를 더해서 새로운 파동함수를 하나 만들어보자.

$\psi = Ae^{ikx}+Ae^{-ikx}=2Acoskx$

그리고 합한 파동함수에 해당하는 운동량은 어떻게 될까.

$\widehat{P_x}(2Acoskx)=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}2Acoskx = ik\hbar\cdot 2Asinkx$

파동함수에 연산자를 곱한 결과가 파동함수의 실수배가 되지 않았다. 즉 고유함수가 아니므로 $\80dpi ik\hbar$ 는 고유값, 즉 이 파동함수에 해당하는 운동량이 아니다. 따라서 이 파동함수의 운동량은 특정한 값으로 주어지지 않는다. $\100dpi \psi = Ae^{ikx}+Ae^{-ikx}$ 이것은 중첩 파동함수로 각각 파동함수의 운동량은 $\80dpi k\hbar$ , $\80dpi -k\hbar$ 로 이렇게 두가지 이상의 고유값을 가진 파동함수들의 합으로 이루어진 파동함수는 각 파동함수의 중첩, superposition 이라고 한다.

일반적으로
$\psi = c_1\psi _1+c_2\psi _2 + c_3\psi _3+\cdots =\sum_{k}c_k\psi _k$ 인 경우,

운동량을 측정한 결과는 다음과 같다.

1. 1회 측정의 경우에는 여러 운동량값들 중의 어느 하나가 측정된다.

2. 여러번 측정할 경우, 어느 특정 운동량이 측정될 확률은 해당 파동함수 앞에 있는 계수의 제곱에 비례한다.

3. 여러번 측정했을 때 측정되는 운동량의 평균값은 다음식으로 주어진다.
- 파동함수가 정규화 된 경우

$<\Omega > =\underset{\tau }{\int }\psi ^*\widehat{\Omega }\psi d\tau$

- 파동함수가 정규화되지 않은 경우

$<\Omega > =\frac{\underset{\tau }{\int }\psi ^*\widehat{\Omega }\psi d\tau }{\underset{\tau }{\int }\psi ^*\psi d\tau }$

파동함수들을 많이 중첩시키면 입자에 위치를 발견할 확률에 대해서 어떻게 변하는지 알아보자.

위의 파동함수들은 $\psi =\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{N}cos(k\pi x)$ 으로 각각 N=3, N=5, N=21 인 것이다. 그리고 파동함수를 제곱한 확률밀도 함수를 알아보자.

21개를 중첩한 파동함수가 x=0 인 지점에서 발견할 확률이 제일 높고, 제일 좁다. 다른 파동함수보다는 21개를 중첩한 파동함수가 위치를 보다 정확하게 알 수 있다. 하지만, 위치를 정확히 알게되면 알게 될수록 운동량은 불확실해진다. 운동량을 측정하면 21개를 중첩한 파동함수는 각각 21개의 파동함수의 운동량중 하나가 나올 것이다.

이것이 하이젠베르크의 불확정성의 원리이다.

Heisenberg Uncertainty Principle

하이젠베르크의 불확정성 원리는 '입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 정하는 것은 불가능하다.'로 표현할 수 있다.

이유는 위에서도 썼다시피, 파동함수 하나로는 운동량을 정확하게 파악할 수 있지만 입자의 위치는 어디에서나 발견될 확률이 같고, 여러개를 중첩한 파동함수는 입자의 위치를 정확하게 파악할 수 있지만 입자의 운동량은 중첩한 각각 파동함수들 중에서 하나의 운동량이 확률적으로 나오기 때문이다.

이처럼 두 observable한 A, B에 대해 Heisenberg 원리 적용 여부는 A, B에 해당하는 연산자의 commutator의 값이 0 이면 원리를 적용하지 않으며, 0이 아니면 원리를 적용한다.

comutator 의 정의

$[\widehat{A},\widehat{B}]=\widehat{A}\widehat{B}-\widehat{B}\widehat{A}$

위치와 운동량에 대한 연산자에 comutator를 하면

$[x,-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}]=x(-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})-(-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})x$

그러나 이 자체로만은 의미가 없기 때문에 ψ를 곱한다.

$[x,-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}]\psi =x(-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})\psi -(-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})x\psi =-i\hbar x \frac{\partial \psi }{\partial x}+i\hbar(\frac{\partial x}{\partial x}\psi +x\frac{\partial \psi }{\partial x})$

$=i\hbar\psi \neq 0$

comutator의 값이 0이 아니기 때문에 $\80dpi \Delta x\Delta p_{x}\geq \frac{\hbar}{2}$ 이어야 한다.

이런식으로 Heisenberg의 불확정성 원리의 적용 여부를 알아내는데 에너지와 시간에 대해서도 하이젠베르크의 불확정원리가 적용된다.

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