A particle in a box(One Dimensions), 일차원 상자속의 입자 (Translational Motion)

병진운동중 앞에서 보았던 공간 내 자유 입자를 먼저 살펴보자. (Link : 공간 내 자유입자)

파동함수는 다음과 같이 표현되고 $\psi (x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ k와 에너지는 각각 다음과 같다.

$\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}=k$ , $E = \frac{k^2\hbar^2}{2m}$

하지만 위의 파동함수는 입자가 어느 곳에서나 있어도 되는 것이다. 우리가 앞으로 알아볼 것은 입자가 존재하는 번위에 제한이 생기는 것이다.

A particle in a box, 상자속의 입자

$\80dpi 0\leq x\leq L$ 인 1차원 속에서만 존재하는 경우를 알아보자.

[그림 1. 그래프상에서의 편의를 위해 L=1 로 그렸다.]

$\80dpi 0\leq x\leq L$ 인 범위에서는 포텐셜 에너지 V = 0 이고, $\80dpi x\leq 0, x\geq L$ 의 범위에서는 V=∞으로 빨간색으로 표시했다. 입자는 상자속에서만 존재하고 상자 밖으로는 못나간다.

즉, 상자 밖인 $\80dpi x\leq 0, x\geq L$ 에서는 $\80dpi \psi(x ) = 0$ 이다.

Schrodinger Equation을 쓰자.

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi (x) }{\mathrm{d} x^2}+V(x)\psi (x)= E\psi (x)$

하지만 범위 안에서는 포텐셜 에너지가 없으므로,

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi (x) }{\mathrm{d} x^2}= E\psi (x)$

정리를 하면

$\frac{\mathrm{d}^2\psi (x) }{\mathrm{d} x^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi (x)=0$

이 파동함수의 해를 $\psi (x)=Asin\alpha x$ 로 가정하고 대입하고 정리하면

$Asin\alpha x\left ( \frac{2mE}{\hbar^2} -\alpha^2 \right )=0$

sin함수가 0이 될수 없으므로

$\therefore \alpha =\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\equiv k$

이와 같은 방법으로 cos도 해가 된다. 따라서 파동함수는

$\psi (x)=Asinkx+Bcoskx, \;\; k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

이제 A, B, k가 무엇인지 알아보자. A, B, k는 유한함수, 1가함수, 연속이라는 조건을 통해 알아낼 수 있다.

연속

$\80dpi \psi (x)$ 는 x=0 에서 상자 안과 밖의 발견될 확률이 같다.

$\psi_{in} (x=0)=Asin0 + Bcos0 = B = \psi_{out} (x=0)=0$

따라서, $\80dpi B=0$ 이다.

이렇게 되면 파동함수는 sin 항만 남게 된다.

$\psi (x)=Asinkx$

그리고 역시 경계점인 x=L 인 부분에서도 안과 밖의 확률이 같아야한다.

$\psi_{in} (x=L)=AsinkL = \psi_{out} (x=L) = 0$

즉,

$\therefore AsinkL = 0$

이것을 만족하는 해는 두가지가 있다.

i) $\80dpi A=0$ 인 경우

만약, $\80dpi A=0$ 이라면 $\80dpi \psi (x)=0$ 가 되고, 상자안에서도 x의 값과는 관계없이 언제나 $\80dpi \psi (x)=0$ 가 된다. 입자가 존재하지 않는다는 뜻이 된다! 따라서 $\80dpi A=0$ 는 우리가 원하는 해가 아니다.

$\therefore A\neq 0$

ii) $\80dpi sinkL=0$ 인 경우

$\80dpi sinkL=0$ 이 라면 kL이 취할 수 있는 값은 다음과 같다.

$kL=0, \pi ,2\pi ,3\pi ,\cdots$

그런데 kL=0 인 경우, L=0이 아니므로 k=0 이란 뜻이 되며 이 역시 x의 값과는 관계없이 언제나 $\80dpi \psi (x)=0$ 가 된다. 이 또한 우리가 원하는 해가 아니므로 kL=0 은 해당하지 않는다. 따라서 정리하면,

$kL= \pi ,2\pi ,3\pi ,\cdots = n\pi\; (n=1,2,3\cdots)$

여기서 정수가 출현하였다! 우리는 이 정수를 '양자수(quantum number)' 라고 부르게 될 것이다. 그리고 k를 마저 정리하게 되면

$k=\frac{n\pi }{L}$

따라서 파동함수는 다음과 같이 된다.

$\psi_n(x) = Asin\frac{n\pi }{L}x$

그리고 한편, $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ 에 해당하므로 입자의 에너지는 다음과 같다.

$E = \frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2\pi^2}{L^2}=\frac{n^2h^2}{8mL^2}$

따라서, 에너지 E 는

$E_n=\frac{n^2h^2}{8mL^2}\; (n=1,2,3\cdots )$

이것을 그래프로 그려보면

[y축은 En이다.]

이 그래프는 에너지를 표시 한 것인데 아래부터 n=1, 2, 3, 4 일 때 이다. 이 그래프를 보면 에너지 값이 불연속하다는 것을 볼 수 있다!!! 그리고 에너지의 최솟값이 0이 아닌 곳이 존재하는데, 이를 영점에너지 (zero-point energy)라고 한다.

$\psi_n(x) = Asin\frac{n\pi }{L}x$ 의 모양

[오른쪽은 ψ², 왼쪽은 ψ이다.]

왼쪽은 파동함수의 제곱으로 입자를 발견할 확률이고, 오른쪽은 파동함수 그 자체이다. 각 그래프는 n=1, n=2, n=3 일때를 그린 것이다. 그리고 n이 매우 커지면 다음과 같이 된다.

[n=1000 일때 ψ² 이다.]

위의 그래프는 n=1000 일때 파동함수를 제곱한 것으로 발견할 확률이 어디에서나 같다.

$E_n=\frac{n^2h^2}{8mL^2}\; (n=1,2,3\cdots )$ 에서 보이는 것들중 m, n, L 이 매우 커지면 고전역학으로도 설명이 가능하게 된다.

정규화

마지막으로 A가 무엇인지 알아내지 못했다. A는 정규화를 통해 구한다.

$\underset{\tau }{\int }\psi ^*\psi d\tau \equiv 1$

이를 이용하면,

$A^2\int_{0}^{L}sin^2\frac{n\pi}{L}xdx = 1$ $\therefore A = \sqrt{\frac{2}{L}}$

정리

일차원 상자속의 입자의 파동함수와 에너지는 다음과 같다.

$\psi_n (x)= \sqrt{\frac{2}{L}}sin\frac{n\pi}{L}x,\;\; E_n=\frac{n^2h^2}{8mL^2},\;\; (n=1,2,3\cdots )$

'Physical Chemistry > Quantum Chemistry' 카테고리의 다른 글

Tunnelling, 터널 현상 (2)	2010.10.04
A particle in a box(two and three Dimensions), 2,3차원 상자속의 입자 (11)	2010.09.25
운동의 자유도, Degree of freedum (5)	2010.07.31
불확정성의 원리, The uncertainty principle (0)	2010.07.24
연산자, Operator (0)	2010.07.19

A particle in a box(One Dimensions), 일차원 상자속의 입자 (Translational Motion)

'Physical Chemistry > Quantum Chemistry' 카테고리의 다른 글

'Physical Chemistry/Quantum Chemistry' Related Articles

티스토리툴바