A particle in a box(two and three Dimensions), 2,3차원 상자속의 입자

전에 올렸던 1차원 상자속의 입자에 이어서 2차원, 3차원 상자속의 입자를 살펴보자. (Link : 1차원 상자속의 입자)

2차원 상자속의 입자

[2차원 상자속의 입자. 편의상 Lx = 2, Ly = 1로 정하였다.]

입자는 box 안인 $\80dpi 0\leq x\leq L_x$ 와 $\80dpi 0\leq y \leq L_y$ 에만 존재한다. box 밖인 $\80dpi x\geq L_x, \; y\geq L_y, \;x \leq 0, \;y \leq 0$ 의 범위에서는 퍼텐셜 에너지 V가 무한대로 입자가 존재할 수 없으며, 따라서 $\80dpi \psi (x,y) = 0$ 이다.

Schrodinger Equation 을 쓰자.

$-\frac{\hbar ^2}{2m}(\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2}) \psi (x,y) = E\psi (x,y)$

파동함수를 $\psi (x,y) = X(x)Y(y)$ x에만 관한 식과 y에만 관한 식의 곱으로 가정하자. 대입하고, 정리하면 다음과 같이 된다.

$Y(y)\frac{\mathrm{d}^2X(x) }{\mathrm{d} x^2}+X(x)\frac{\mathrm{d}^2 Y(y) }{\mathrm{d} y^2}+\frac{2mE}{\hbar ^2}X(x)Y(y)=0$

양변을 X(x)Y(y)로 나누자.

${\color{blue} \frac{1}{X(x)}\frac{\mathrm{d}^2X(x) }{\mathrm{d} x^2}}+{\color{red} \frac{1}{Y(y)}\frac{\mathrm{d}^2 Y(y) }{\mathrm{d} y^2}}+\frac{2mE}{\hbar ^2}=0$

이제 x만의 함수와 y만의 함수 그리고 상수항으로 나뉘었다.

만약, $\80dpi x=L_x/2$ 으로 놓고, x만의 함수를 상수로 고정해보자. x만의 함수와 오른쪽의 상수항은 언제나 값이 일정한 상수항인데, y만의 함수에 어떤 값을 대입하더라도 더해서 언제나 0이 나와야만 한다. 따라서, y만의 함수도 일정한 값을 가진 상수라는 것을 알 수 있다.

$\frac{1}{X(x)}\frac{\mathrm{d}^2X(x) }{\mathrm{d} x^2},\; \; \frac{1}{Y(y)}\frac{\mathrm{d}^2 Y(y) }{\mathrm{d} y^2}$ 는 상수!!

$-\frac{2mE_x}{\hbar ^2} - \frac{2mE_y}{\hbar ^2} + \frac{2mE}{\hbar ^2} =0$ 으로 가정하고, x와 y의 에너지의 합이 전체 에너지라고 하자.

$E_x + E_y \equiv E$

그리고 각 에너지는 상수 이므로, 함수와 에너지를 맞춰서 쓰면

$\frac{1}{X(x)}\frac{\mathrm{d}^2X(x) }{\mathrm{d} x^2} = -\frac{2mE_x}{\hbar ^2}$

정리하면,

$\frac{\mathrm{d}^2 }{\mathrm{d} x^2} X(x) + \frac{2mE_x}{\hbar ^2}X(x)=0$ , $\frac{\mathrm{d}^2 }{\mathrm{d} x^2} Y(y) + \frac{2mE_y}{\hbar ^2}Y(y)=0$

이것을 1차원 상자속 입자와 비교하면 식이 완전히 똑같다는 것을 알 수 있다. 따라서, 각각의 해는 바로 알 수 있는데, 다음과 같다.

$X(x) = \sqrt{\frac{2}{L_x}}sin\frac{n_x \pi}{L_x}x,\; \; E_{n_{x}}=\frac{n_x ^2 h^2}{8mL_x ^2}\; \;(n_x=1, 2,3\cdots )$

$Y(y) = \sqrt{\frac{2}{L_y}}sin\frac{n_y \pi}{L_y}y,\; \; E_{n_{y}}=\frac{n_y ^2 h^2}{8mL_y ^2}\; \;(n_y=1, 2,3\cdots )$

그리고 파동함수를 $\psi (x,y) = X(x)Y(y)$ 으로 가정했으므로, 파동함수의 식은 다음과 같다.

$\psi_{n_x, n_y}(x,y)= X_{n_x}(X) Y_{n_y}(y) = \sqrt{\frac{2}{L_x}}sin\frac{n_x \pi}{L_x}x\sqrt{\frac{2}{L_y}}sin\frac{n_y \pi}{L_y}y$

에너지는 다음과 같다.

$E_{n_x, n_y}=E_{n_x} + E_{n_y} = \frac{h^2}{8m}(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2})$

Degeneration, 축퇴

이제 만약, L_x 와 L_y 가 같다고 하고 그 길이를 L이라 하자. 그렇게 되면 파동함수와 에너지는 다음과 같이 변한다.

$\psi_{n_x, n_y}(x,y)={\frac{2}{L}}sin\frac{n_x \pi x}{L}sin\frac{n_y \pi y}{L}$

$E_{n_x, n_y} = \frac{h^2}{8mL^2}(n_x^2+n_y^2)$

위에서 주어진 에너지 식에 따라 에너지 준위(Energy Level)를 구해보면 다음 그림과 같다.

Y축은 에너지 준위를 나타낸다.

(n_x,n_y)으로 각각의 양자수를 표시한다면, 먼저 (1,1)이 제일 아래쪽에 놓이게 되는데 제일 낮은 에너지가 0이 아닌, 영점에너지(zero-point energy)가 존재한다. 그 다음으로는 (1,2)와 (2,1)이 있는데 이는 에너지가 똑같다. 즉, 같은 에너지를 가지는 양자상태가 두가지 있는 것으로, 이런 것을 '축퇴되었다(Degenerated)'고 한다. 다른 말로는 퇴화되었다라고도 한다. 그리고 하나의 에너지 준위가 같은 양자 상태의 수를 축퇴도, 퇴화도, degeneracy로 표현한다.

3차원 상자속 입자

역시 같은 방법으로 입자가 존재할 수 있는 범위가 0≤x≤L_x , 0≤y≤L_y, 0≤z≤L_z일 때, 파동함수와 에너지는 다음과 같이 주어진다.

$\psi _{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=\sqrt{\frac{2}{L_x}} \sqrt{\frac{2}{L_y}} \sqrt{\frac{2}{L_z}} sin\frac{n_x \pi x}{L_x}sin\frac{n_y \pi y}{L_y}sin\frac{n_z \pi z}{L_z}$

$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{h^2}{8m}\left ( \frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2} \right )$

그리고 L_x=L_y=L_z=L인 정육면체의 경우를 생각할 때, 에너지 식은 다음과 같이 간단해진다.

$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{h^2}{8mL^2}\left ( n_x^2+n_y^2+n_z^2 \right )$

제일 낮은 준위는 (1,1,1)이고 이때의 에너지는 $\80dpi 3\times \frac{h^2}{8mL^2}$ 가 되고, 이것이 영점에너지에 해당한다. 그리고 그 다음 에너지 준위는 $\80dpi 6\times \frac{h^2}{8mL^2}$ 인데, 이것에 해당하는 양자상태는 (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)으로 세개의 상태가 축퇴되어있고, 이때의 축퇴도는 3 이 된다.

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