Tunnelling, 터널 현상

지금까지 입자의 병진운동을 다룰 때, potential energy가 0인 것만 다루었는데, 0이 아닌 경우를 살펴보자.

[그림 1. potential barrier, potential well, potential step]

위의 그림처럼 potential 에너지가 주위보다 높았다가 다시 원래대로 돌아오면 potential barrier (퍼텐셜 장벽), 주위보다 에너지가 낮았다가 다시 높아지면 potential well (퍼텐셜 우물), 그리고 높아진 상태로 유지되는 것은 potential step (퍼텐셜 계단) 이라고 한다.

Tunnelling, 터널 현상
- 에너지가 작더라도 높은 potential 장벽을 지나갈 수 있는 현상

위의 그림처럼 Potential barrier가 있다고 하자. 이때 퍼텐셜 장벽의 에너지는 상수 V로써 일정하고, 입자가 가지는 에너지 E보다 크다고 하자. 고전역학에서는 입자가 가진 에너지보다 퍼텐셜 장벽의 에너지가 더 크므로 입자는 퍼텐셜 장벽을 뛰어넘지 못하고, 따라서 Region I 에서 출발한 입자는 Region III 에서 발견될 수 없다. 하지만 양자역학의 세계에서는 달라지게 되는데, 알아보도록 하자.

먼저 각 구역을 다음과 같이 정의하자.

Region I : x ≤ 0 , V(x) = 0
Region II : 0 ≤ x ≤ L , V(x) = V
Region III : x ≥ L , V(x) = 0

그리고 각 구역에 따른 슈뢰딩거 방정식을 쓰면 다음과 같다.

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d^2} \psi _{\textup{I}}(x)}{\mathrm{d} x^2} = E\psi _{\textup{I}}(x)$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d^2} \psi _{\textup{II}}(x)}{\mathrm{d} x^2} + V\psi _{\textup{II}}(x) = E\psi _{\textup{II}}(x)$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d^2} \psi _{\textup{III}}(x)}{\mathrm{d} x^2} = E\psi _{\textup{III}}(x)$

Region I은 free particle 이므로 파동방정식의 해는 다음과 같다. (구하는 방법 Link)

$\psi _{\textup{I}}(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx} , \; \; k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

그리고 Region II의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 된다.

$\frac{\mathrm{d^2} \psi _{\textup{II}}(x)}{\mathrm{d} x^2} - \frac{2m(V-E)}{\hbar^2}\psi _{\textup{II}}(x) = 0$

위의 식에서 V-E는 양수이며, 식을 풀면 다음과 같은 해가 얻어진다.

$\psi _{\textup{II}}(x)= Ce^{\kappa x}+ De^{-\kappa x},\; \; \kappa =\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}$

마지막으로 Region III의 해를 구한다.

$\psi _{\textup{III}}(x) = Ee^{ikx} + Fe^{-ikx} , \; \; k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

구해야할 상수는 A, B, C, D, E, F로 총 6개이다.

하지만 I에서 III으로 넘어오면 부딪혀 되돌아 올 수 없으므로 F에 해당하는 파동함수는 없다. 따라서 F=0이다.

그리고 각 경계점에서 연속이므로 연속조건과, 1차도함수가 각 경계점에서 같은 것을 이용해 식을 세운다.

$1\cdots \psi _{\textup{I}}(x=0)=\psi _{\textup{II}}(x=0) \Rightarrow A+B=C+D$
$2\cdots \psi' _{\textup{I}}(x=0)=\psi' _{\textup{II}}(x=0) \Rightarrow ikA-ikB=\kappa C-\kappa D$
$3\cdots \psi _{\textup{II}}(x=L)=\psi _{\textup{III}}(x=L) \Rightarrow Ce^{\kappa L}+De^{-\kappa L}=Ee^{ikL}$
$4\cdots \psi' _{\textup{II}}(x=L)=\psi' _{\textup{III}}(x=L) \Rightarrow \kappa Ce^{\kappa L}+\kappa De^{-\kappa L}=ikEe^{ikL}$

미지수는 5개, 식은 4개가 되는데, 각 미지수의 정확한 값은 구할 수 없으나 각각의 비율은 구할 수 있다.

$\frac{B^2}{A^2}$ 은 반사율(reflectance) 이며, $\frac{E^2}{A^2}$ 는 투과율(transmittance)이 된다.

그리고 위의 식 4개를 풀어서 $\frac{E^2}{A^2}$ 를 구하면 양수가 된다. 즉, 투과를 한다는 것이다. 터널 확률은 V가 낮을 수록, L이 짧을 수록, m이 작을 수록 커진다.

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