Rotation in Two Dimensions, 이차원 회전 운동

회전 운동은 2차원에서의 원운동이 있고, 3차원에서의 회전이 있다. 이 글에서는 2차원 회전 운동을 다룰 것이다.
회전 운동을 기술하기 위해서는 직교좌표계보다는 극좌표계가 편하므로 극좌표계로 서술할 것인데 슈뢰딩거 방정식도 역시 극좌표계로 바꿔줘야한다. 극좌표계로 바꾸는 방법은 공업수학에서 다루기로 하고, 여기서는 바로 결과부터 쓰도록 하겠다.

좌표계는 직교좌표계(x,y)에서 극좌표계 (r,φ)로 할 것이다. 각 좌표계는 다음과 같은 관계와 범위가 있다.

x=r·cosφ	-∞ ≤ x ≤ ∞
y=r·sinφ	-∞ ≤ y ≤ ∞
r = (x²+y²)^1/2	0 ≤ r ≤ ∞
φ = tan^-1(y/x)	0 ≤ φ ≤ 2π

그리고 직교좌표계에서 극좌표계로 슈뢰딩거 방정식을 바꾸자.

$\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}=\frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \phi x^2}$

이를 사용하여, 회전운동의 운동을 알아보자.

2차원 회전운동 (원운동)

먼저 Planer free rotation이라 가정하자. 즉, 포텐셜 에너지가 없다(V=0). 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$-\frac{\hbar ^2}{2m}\left (\frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \phi ^2} \right )\psi (r,\phi )= E\psi (r,\phi )$

그리고 여기서 r이 불변인 상수라는 하나의 가정을 도입하자. 이를 rigid rotor (강체 회전자)라고 한다. 화학에서는 결합길이가 일정한 것으로 가정한것과 같은 의미이며, 이로써 파동함수는 ψ(r,φ)에서 ψ(φ)가 된다. 이를 반영하여 슈뢰딩거 방정식을 다시 쓰자.

$-\frac{\hbar ^2}{2mr^2}\frac{\partial^2 \psi (\phi )}{\partial \phi ^2}= E\psi (\phi )$

그리고 mr²은 물리학에서 I로 관성 모멘텀(momentum of Inertia)라고 한다. 따라서 이에 맞게 다시 쓰자.

$-\frac{\hbar ^2}{2I}\frac{\mathrm{d}^2 \psi (\phi )}{\mathrm{d} \phi ^2}= E\psi (\phi )$

그런데, 형태가 어디서 많이 보았던 것이다. 1차원 자유입자의 병진운동과 같다.

2차원 회전운동	1차원 자유입자 병진운동
슈뢰딩거 방정식 $-\frac{\hbar ^2}{2I}\frac{\mathrm{d}^2 \psi (\phi )}{\mathrm{d} \phi ^2}= E\psi (\phi )$	슈뢰딩거 방정식 $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2 }{\mathrm{d} x^2}\psi (x) = E\psi (x)$
파동함수 $\psi (\phi )=e^{\pm im_l\phi }$	파동함수 $\psi (x )=e^{\pm ikx }$
양자수 $m_l=\pm \frac{\sqrt{2IE}}{\hbar}$	양자수 $k=\pm \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

먼저, 규격화상수 N이 얼만지 구해보자. 정규화를 실제로 해보면 된다.

$\int_{0}^{2\pi }\psi ^*(\phi ) \psi (\phi ) d\phi = N^2\int_{0}^{2\pi }e^{\mp im_l\phi}e^{\pm im_l\phi} d\phi = N^2\int_{0}^{2\pi } d\phi=2\pi N^2 = 1$

따라서 규격화 상수 N은 다음과 같다.

$N= \frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

그런데 2차원 회전운동은 한가지 조건이 더 있는데, 그것은 φ에 2π를 더해도 같은 위치에 있다는 것이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$\psi (\phi )=\psi (\phi +2\pi )$

이를 cyclic boundary condition이라 한다. 이를 우리가 얻은 파동함수 $\psi (\phi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{\pm i m_l \phi }$ 에 대입해보자.

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{\pm i m_l \phi } = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{\pm i m_l (\phi + 2\pi )} = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{\pm i m_l \phi }e^{\pm i(2\pi m_l)}$

그러므로,

$e^{\pm i(2\pi m_l)} = 1$

가 되어야한다. 그런데 euler 식 $e^{\pm ix}=\cos x \pm i\sin x$ 에 의해, 위의 식은 다음과 같이 된다.

$e^{\pm i(2\pi m_l)}={\color{blue} \cos (2\pi m_l)} \pm {\color{red} i\sin (2\pi m_l)}$

그런데, 이 값이 언제나 1이여야 하므로, 실수부인 cos항은 1, 허수부인 sin항은 0이 되어야한다. 동시에 이 조건이 만족 되려면,

$m_l=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots =\frac{\sqrt{2IE}}{\hbar }$

가 된다. m_l과 에너지E는 위와 같은 관계가 있으므로, 이제 에너지를 구할 수 있다.

$E = \frac{m_l^2}{2I}\hbar ^2 \; (m_l=0, \pm 1, \pm2, \cdots )$

에너지가 연속적이지 않다! 즉, 에너지가 양자화 되었다.

평면 회전 운동의 파동함수는 다음과 같다.

$\psi _{m_l}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{im_l\phi }\; \; (m_l= 0,\pm1, \cdots )$

그리고 회전 에너지 준위는 m_l=0 일때 E=0 이다. 즉 zero-point energy(영점 에너지)가 존재하지 않는다. 한편, m_l=±1, ±2, … 일때부터는 같은 에너지 준위를 가진 상태가 2개씩 존재해 2개씩 degenerate(축퇴)된 것을 볼 수 있다.

각 운동량

2차원 회전 운동을 하는 파동함수에 각운동량 z-성분연산자로 각운동량 z성분을 구하면 다음과 같다.

$\widehat{l_z}{\color{Teal} \psi _{m_{l}}(\phi )}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial \phi }{\color{Teal} \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{im_{l}\phi }}=m_{l}\hbar {\color{Teal} \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{im_{l}\phi }}$

m_lħ는 각운동량 z 성분의 값이고 L=lz 이므로 전체 각 운동량 L=m_lħ 이다.

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