Rotation in Three Dimensions, 3차원 회전 운동

2차원 회전 운동에 이어서 반지름이 r인 구면상의 어느 곳으로나 자유롭게 이동할 수 있는 질량이 m인 알맹이를 생각하자. 이러한 계산은 원자의 전자 상태나 분자의 회전 상태를 나타날 때 필요하다. 지구처럼 3차원 구에서는 적도 상에서 양 끝점이 파동함수가 조화를 이뤄야하고, 양극을 통과하는 경도 상에서도 조화를 이루어야 하므로 또 하나의 순환성 경계 조건이 생기게 되며, 이 때문에 새로운 양자수가 도입된다.

이번에도 역시 free rotation이며 V=0 이 된다. 이를 Schrodinger eq.로 쓰게 되면,

$-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2} \right )\psi (x,y,z)=E\psi (x,y,z)$

이를 극좌표계로 바꾸면,

$-\frac{\hbar^2}{2m} \left [ \frac{\partial^2 }{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{r^2}\left ( \frac{1}{sin^2\theta } \frac{\partial^2 }{\partial \phi ^2} + \frac{1}{sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta }) \right ) \right ]\psi (r,\theta ,\phi )=E\psi (r,\theta ,\phi )$

rigid rotor로 가정하여 r=일정하다고 하면, r에 대한 도함수는 0으로 계산할 필요가 없어지게 되고, mr²이 I로써 관성모멘텀이 된다. 식을 정리하면 다음과 같이 된다.

$-\frac{\hbar^2}{2{\color{Orange} I}} \left [ \frac{1}{sin^2\theta } \frac{\partial^2 }{\partial \phi ^2} + \frac{1}{sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta }) \right ]\psi (\theta ,\phi )=E\psi (\theta ,\phi )$

이제 ψ(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ) 로 가정하고 변수 분리를 하면 다음과 같이 된다.

${\color{DarkGreen} \frac{1}{\Phi }\frac{\mathrm{d} ^2 \Phi }{\mathrm{d}^2 \phi }} + {\color{Blue} \frac{sin\theta}{\Theta }\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta }\left ( sin\theta \frac{\mathrm{d} \Theta }{\mathrm{d} \theta } \right )+ Esin^2 \theta} = 0$

이제 φ만의 함수와 θ만의 함수로 나누게 된다. 그리고 각 두 함수는 상수함수이며, 크기는 같고 부호는 반대가 된다.
각각 상수함수 이므로, 다음과 같이 나누자.

$\frac{1}{\Phi }\frac{\mathrm{d} ^2 \Phi }{\mathrm{d}^2 \phi } = -m_l^2$

$\frac{sin\theta}{\Theta }\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta }\left ( sin\theta \frac{\mathrm{d} \Theta }{\mathrm{d} \theta } \right )+ Esin^2 \theta = m_l^2$

이제 각각 두 함수를 풀면 다음과 같은 결과가 얻어진다. 푸는 방법은 Pauling & Wilson, Introduction to Quantum Mechanics, pp118~121 에 있다.

$\Phi (\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{i m_l \phi }$
$\Theta _l^{m_l}(\theta ) = (-1)^{m_l}\left [ \frac{2l+1}{2} \frac{(l-m_l)!}{(l+m_l)!} \right ]^{1/2}P_l^{m_l}(cos\theta )$

Θ 함수에는 양자수 두개가 관련된다. l=0, 1, 2, … 이고, m_l= -l, -(l-1), …, 0, 1, …, l-1, l 까지 이다.
이러한 양자수는 푸는 과정에서 생기며, 에너지는 양자수 l 에만 의존한다.

$E_l=\frac{l(l+1)}{2I}\hbar ^2$

이 에너지는 m_l값이 다른데 대한 축퇴도가 2l+1 개가 된다. l이 0일떈 축퇴도가 1, l=1 일땐 축퇴도가 3 인 것이다.
3차원 회전 운동의 파동방정식의 해는 구면 조화 함수Spherical harmonics라고 하고 Y라고 표현한다.

$\psi _{m_l, l}(\theta ,\phi )= \Phi (\phi )\Theta (\theta )\equiv {\color{Blue} Y_{m_l,l}(\theta ,\phi )}$

구면 조화 함수의 각운동량을 살펴보자

먼저 전체 각운동량 제곱을 구하는 operator는 다음과 같다.

$\widehat{l^2}=-\hbar^2 \left [ \frac{1}{sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta } (sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta }) + \frac{1}{sin^2\theta } \frac{\partial }{\partial \phi ^2} \right ]$

그리고 각운동량 z-성분을 구하는 operator는 다음과 같다.

$\widehat{l_z}=-i\hbar\frac{\partial }{\partial \phi}$

구면 조화 함수는 전체 각운동량의 제곱과 각운동량 z-성분에 대해서 고유함수이며 고유값이 있다. 하지만 각 운동량 x-성분과 y-성분에 대해서는 고유함수가 아니며, 이 둘의 값은 알 수 없다. 그래서 구할 수 있는 전체 각 운동량 제곱과 각운동량 z-성분을 구하면 다음과 같다.

$\widehat{l_z}Y_{l,m_l}(\theta ,\phi )=m_l\hbar \cdot Y_{l,m_l}(\theta ,\phi )$
$\widehat{l^2}Y_{l,m_l}(\theta ,\phi )=l(l+1)\hbar^2 \cdot Y_{l,m_l}(\theta ,\phi )$

따라서, 전체 각 운동량은 $\dpi{80} \sqrt{l(l+1)}\hbar$ 이며, 각운동량 z-성분은 $\dpi{80} m_l\hbar$ 이다. 이 결과는 3차원 회전체는 에너지, 전체 각운동량, 각운동량 z-성분이 양자화되었다는 것을 뜻한다. 이 것은 3차원 회전체가 각 운동량이나 z-성분을 아무 값이나 가질 수 없으며, 정해진 값만을 가질 수 있다는 것을 뜻한다. 이러한 것을 공간 양자화Space Quantigation 이라고 한다. 전체 각 운동량 vector가 공간 내에서 가지는 방향은 다음과 같이 주어진다.

$\theta = cos^{-1}\frac{l_z}{l}=cos^{-1}\frac{m_l\hbar}{\sqrt{l(l+1)}\hbar } = cos^{-1}\frac{m_l}{\sqrt{l(l+1)}}$

Spin

전자의 스핀(자전)방향은 두가지이다. 그리고 이와 관련된 양자수는 두가지이다.
스핀 각 운동량 양자수 s = 1/2
스핀 각 운동량의 z-성분 양자수 m_s=±1/2

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