연산자, Operator

물리적으로 관측가능한 양( $\80dpi \Omega$ ,observable)에 해당하는 연산자 $\80dpi \widehat{\Omega }$ 를 파동함수에 적용시키면 그 결과는 파동함수에 상수를 곱한 꼴이 되며, 이 때 상수는 고유값( $\80dpi \omega$ )으로 그 관측가능한 물리량의 값이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$\widehat{\Omega }\psi = \omega \psi$

연산자의 구성

	관측가능량	연산자
위치	x	$\100dpi x$ (그대로 x를 곱한다)
	y	$\100dpi y$
	z	$\100dpi z$
운동량	$\100dpi p_{x} (=mv_{x})$	$\100dpi \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x} = -i\hbar\frac{\partial }{\partial x}$
	$\100dpi p_y$	$\100dpi -i\hbar\frac{\partial }{\partial y}$
	$\100dpi p_z$	$\100dpi -i\hbar\frac{\partial }{\partial z}$
각운동량	$\100dpi L_x=yp_{z}-zp_{y}$	$\100dpi \widehat{L_{x}}=y(-i\hbar\frac{\partial }{\partial z})-z(-i\hbar\frac{\partial }{\partial y})$
	$\100dpi L_y=zp_{x}-xp_{z}$	$\100dpi \widehat{L_{y}}=z(-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})-x(-i\hbar\frac{\partial }{\partial z})$
	$\100dpi L_z=xp_{y}-yp_{x}$	$\100dpi \widehat{L_{z}}=x(-i\hbar\frac{\partial }{\partial y})-y(-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})$
1차원 운동에너지	$\100dpi T_{x}=\frac{1}{2}mv_{x}^{2}=\frac{m^2v_{x}^2}{2m}=\frac{p_{x}^2}{2m}$	$\100dpi \widehat{T_{x}}=\frac{1}{2m}(-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})(-i\hbar\frac{\partial }{\partial x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}$
2차원 운동에너지	$\100dpi T_{x}+T_{y}$	$\100dpi \widehat{T_{x}}+\widehat{T_{y}} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2})$
3차원 운동에너지	$\100dpi T_{x}+T_{y}+T_{z}$	$\100dpi \widehat{T_{x}}+\widehat{T_{y}}+\widehat{T_{z}} = -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2})$
총 에너지	$\100dpi E=T+V$	$\100dpi \widehat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2})+V(x,y,z)$

Hermitian Operator

$\underset{\tau }{\int }\psi _{i}^{*}\widehat{\Omega }\psi _{j}d\tau =[\underset{\tau }{\int }\psi _{j}^{*}\widehat{\Omega }\psi _{i}d\tau]^{*}$

위 관계를 만족시키면 $\80dpi \widehat{\Omega }$ 를 Hermitian 연산자라 한다. 이 때, $\80dpi \psi _{i}$ 와 $\80dpi \psi _{j}$ 는 동일한 계의 상태가 다른 파동함수이다.

Hermitian Operator의 성질
i) 이 연산자에 해당하는 고유값은 반드시 실수이다!
→ Observable에 해당하는 연산자는 반드시 Hermitian이다.

ii)이 연산자에 해당하는 두 고유함수들( $\80dpi \psi _{i}$ , $\80dpi \psi _{j}$ )간에는 직교성(orthogonal)이 있다.

직교성, Orthogonal의 정의

$\underset{\tau }{\int }\psi ^{*}_{i}\widehat{\Omega }\psi _{j}d\tau \equiv 0$

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연산자, Operator

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