양자이론은 미시세계는 물론 거시세계에도 적용되는 일반적인 체계이다. 양자이론은 원자를 정확하게 기술하기 위해서 꼭 필요하다. 양자이론의 중요성은 많은 실험을 통해 증명되었다. 오늘날까지 양자이론에 의한 예측과 실험을 통한 관측 사이에 아무런 차이가 발견되지 않았다. 그래서 과학자들은 양자이론은 일반상대성 이론과 더불어 20세기 물리학을 받치고 있는 기둥이라는 믿음을 가지고 있다. 양자물리학은 물체를 입자가 아니라 파동의 형태로 기술하여 불연속적인 물질의 원자 구조를 설명하고 있다. 양자이론은 물질을 정확하게 기술하기 위해 꼭 필요하며 여러 가지 인상적인 현상을 설명한다.
이러한 양자역학에 파동방정식을 도입한 에르빈 슈뢰딩거Erwin Schrodinger, 폴 디랙Paul Dirac과 양자역학의 불확정성원리를 발견한 베르너 하이젠베르크Werner Heisenberg에게 1932년, 1933년 노벨 물리학상이 수여되었다. 다음을 클릭하면 1932년, 1933년 노벨 물리학상의 연설문 전문을 볼 수 있다.
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1932년, 1933년 노벨 물리학상 양자역학의 불확정성원리 발견 - 베르너 하이젠 베르크, Werner Karl Heisenberg 양자역학에 파동방정식 도입
에르빈 슈뢰딩거, Erwin Schrodinger
폴 디랙, Paul Adrien Maurice Dirac
전하, 그리고 신사 숙녀 여러분.
올해의 노벨 물리학상은 새로운 원자물리학을 정립한 공로에 대해 수여되겠습니다. 왕립과학원은 하이젠베르크 교수, 슈뢰딩거 교수, 그리고 디랙 교수를 수상자로 선정하였습니다. 이들은 현대 원자물리학의 기초적인 개념들을 창조하고 발전시켰습니다.
1990년 플랑크 박사는 처음으로 빛이 입자의 속성을 가진다고 발표했습니다. 그리고 그가 제시한 이론은 후에 아인슈타인에 의해서 더욱 발전합니다. 특정 단위의 정수배에 해당하는 에너지를 가지지 않으면 물질은 빛을 생성할 수도 흡수할 수도 없다는 것이 이 이론의 내용입니다. 이러한 에너지의 단위에 광양자 혹은 광자라는 이름이 붙여졌습니다. 광양자의 에너지는 색깔에 따라 다릅니다. 그러나 광양자가 가진 에너지의 양을 빛의 주파수로 나누면 언제나 이른바 플랑크 상수 'h'
라는 똑같은 값이 얻어집니다. 이 상수는 보편적인 성질을 가지며 현대 원자 물리학의 초석을 이루고 있습니다.
빛도 역시 입자로 구분이 가능하므로 빛에서 관찰되는 모든 현상들은 입자들 사이의 상호작용으로 설명될 수 있어야 합니다. 질량도 빛의 입자성에 기인하는 것이고 광선이 물질에 투시될 때 관찰되는 효과도 물체의 충돌에 관한 법칙으로 설명할 수 있습니다.
그로부터 몇 년 후에 발견된 광양자와 빛의 연관성은 물질의 운동과 파동의 전파 사이의 유사성을 찾는 방향으로 진전되었습니다.
파동형태로 진행되는 빛은 굴절이 되기도 하고 다른 매체에 반사되기도 하는데 오랜 세월동안 여기에 대한 통상적인 설명은 단지 실제의 상황에 대한 근사치로만 이루어져 왔습니다. 즉 이런 근사적인 접근이 맞으려면, 빛이 통과하는 물체의 부피, 그리고 빛을 관찰하는 도구의 크기와 비교할 때 빛의 파장이 무한히 작아야합니다. 파동의 전파법칙에 따르면 실제의 빛은 모든 방향으로 퍼져나가는 파동의 형태로 전파됩니다.
루이 드 브로이는 빛의 경로와 물질의 궤적 사이에 존재하는 유사성을 찾아보려는 놀라운 생각을 했습니다. 그는 물질 입자의 궤적이라는 것은 빛의 경로와 마찬가지로 실재를 근사적으로 표현하는 것에 불과할지 모르며 물질입자도 파동처럼 다루어야한다고 생각했습니다. 그는 아인슈타인의 상대성 이론을 이용하여 및의 속도보다 훨씬 더 빠른 속도로 전파되는 파동의 혼합으로 물질의 운동을 표현해 성공적으로 물질의 성질을 설명할 수 있었습니다. 즉 다소 다른 전파속도를 갖는 파동의 간섭을 통해 특정한 지점에서 높은 마루를 형성하는 파동이 생기는 곳에 물질이 존재한다고 표현합니다. 파동계는 그것을 구성하는 파장들의 속도와는 매우 다른 속도로 전파되는 마루를 형성합니다. 파동계가 가지는 속도를 이른바 물질파의 군속도라 부릅니다.
드 브로이의 물질파 이론은 이후 실험으로 검증을 받습니다. 만약 천천히 움직이는 전자가 결정표면을 만나게되면 회절과 반사현상이 나타나는데 이것은 파동이 전파되는 것과 같은 방식입니다.
드 브로이의 이론에 따르면 우리는 물질이 영속적인 구조를 가지지 않고 공간에 한정된 크기를 가진다고 생각할 수밖에 없습니다. 물질을 형성하는 파동들은 사실상 다른 속도로 움직이고 있고 따라서 조만간 분리될 수밖에 없습니다. 물질은 그 형태가 변하고 공간에 뻗어 있습니다. 따라서 불변하는 입자들로 구성되었다는 물질에 대한 우리가 만든 개념은 수정되어야합니다.
설명을 제대로 하기 힘든 물리현상 중의 하나는 원자와 분자가 진동할 때 그 결과로 생겨나는 수없이 많은 분광선들의 모습과 광학적 도구를 사용해서 빛을 쪼갤때 얻어지는 띠 입니다. 오랫동안 알려진 사실은, 각각의 분광선은 특정 주파수를 지닌 빛에 해당하고 그 선이 색 스펙트럼의 다양한 위치 중 어디에서 나타나는가에 따라 주파수는 달라집니다.
아 모든 선들과 분광선상에서의 상대적인 위치를 정확하게 설명하는 것이 매우 중요합니다. 왜냐하면 이것을 제대로 설명할 수 있으면 원자와 분자의 구조와 물질들 사이의 관계를 이해할 수 있기 때문입니다.
1913년 보어는 플랑크상수가 빛을 방출하고 흡수하는 것에 대해서뿐만 아니라 원자 내부의 운동에 대해서도 결정적인 요소로 간주해야한다고 주장했습니다.
러더포드 이후 보어는 워낮의 내부는 무겁고 양전하를 띤 입자들로 구성되며 그 주위를 음전하를 띤 전자들이 핵에 이끌려서 원자핵에서 떨어지지 않고 닫힌 경로로 돌고 있다고 가정했습니다. 핵에서 전자의 경로가 멀리 떨어져 있는지 가까운지에 따라 전자는 다른 속도와 에너지를 가집니다. 보어는 이제 더 나아가서 전자가 주어진 경로 내에서 움직일 때의 에너지가 빛의 양자의 정수배에 해당될 경우에만 주어진 경로가 허용될 수 있다고 가정합니다. 또한 빛은 전자가 한 경로에서 다른 경로로 갑작스럽게 이동할 때 발생하고 경로가 변환되면서 변화한 에너지를 플랑크상수로 나누면 발생하는 빛의 주파수를 얻을 수 있다고 가정했습니다. 그러나 보어 교수가 얻은 빛의 주파수는 단 하나의 전자만을 가진 수소원자에는 유효했으나 좀 더 복잡한 원자 또는 특정한 광학적 현상과는 일치하지 않았습니다. 그럼에도 불구하고 수소원자의 경우 보어의 방법이 유효하다는 것은 플랑크상수가 입자로서의 빛과 파동으로서의 빛의 속성에 대한 결정적인 요소라는 것을 의미합니다. 다른 한편으로는 원자 내부에서 일어나는 빠른 운동을 설명하는 데 고전역학에 근거를 둔 보어의 방법을 적용하는 것은 적당하지 않을 수 있다는 생각이 들기도 합니다. 여러 방면에서 보어의 이론을 발전시키고 개선하려는 노력이 이루어졌지만 모두 허사였습니다. 원자와 분자의 진동 문제를 해결하기 위해서는 새로운 생각이 필요했습니다.
1925년 각기 다른 시작점과 방법들을 사용한 하이젠베르크, 슈뢰딩거, 디랙 교수의 연구에서 해법이 발견되었습니다. 우선 슈뢰딩거 교수의 공헌에 대해서 언급하겠습니다. 이유는 다른 어떤 연구들보다 그의 연구가 위에 언급한 보어의 물질파동이론을 사용해서 얻은 성과에 가장 근접하기 때문입니다.
슈뢰딩거 교수는 전자는 진행파이기 때문에 빛의 전파를 결정하는 파동방정식과 같은 방법으로 전자들의 운동에 대한 파동방정식을 찾는 것이 가능할 것으로 생각했습니다. 이 파동방정식의 해로부터 원자 안의 전자의 운동에 대한 적당한 진동을 선택하는 것이 가능해졌습니다. 그는 또한 전자의 다른 운동에 대한 파동방정식을 결정하는 데 성공했습니다. 그리고 이런 방정식들은 시스템의 에너지가 플랑크상수의 정수배에 해당될 때에만 해가 얻어질 수 있었습니다.
보어의 이론에서는 전자의 경로에 대한 이러한 불연속적인 에너지는 단지 가정일 뿐이었습니다. 그러나 슈뢰딩거 교수의 이론에서는 불연속작인 에너지는 파동방정식의 해를 통해 완전하게 결정할 수 있습니다. 슈뢰딩거 교수 자신과 그를 뒤따르는 다른 사람들은 그의 이론을 빛과 전자 사이의 충돌을 동반하는 현상에 대한 해석, 전기장과 자기장에서의 원자의 거동, 그리고 빛의 회절 등 다양한 광학적 문제들에 적용하였습니다. 모든 방면에서 슈뢰딩거 교수의 이론을 사용하면 값과 공식들이 얻어졌고 그 결과들은 이전의 이론보다 실험과 더 잘 일치했습니다. 슈뢰딩거 교수의 파동방정식은 빛의 분광선과 관련된 문제들을 다루는 데 있어 편리하고 간단한 방법이었으며 오늘날의 물리학에서 빼놓을 수 없는 도구가 되었습니다.
슈뢰딩거 교수의 이론이 나타나기 얼마 전 하이젠베르크 교수가 유명한 양자역학을 발표했습니다. 하이젠베르크 교수는 매우 다른 출발점에서 시작했고 아주 초기부터 문제를 넓은 각도에서 보았기 때문에 전자, 원자, 분자 등 모든 시스템을 다룰 수 있었습니다. 하이젠베르크 교수에 따르면 직접적으로 측정이 가능한 물리적인 양들이 연구의 출발점이 되어야하고, 이러한 양들을 연결시키는 법칙들을 찾아내는 것이 연구의 목적입니다. 이때 처음으로 생각할 양은 원자와 분자의 분광선 안에 있는 각각의 선들의 강도와 빈도입니다. 하이젠베르크 교수는 스펙트럼의 모든 진동을 조합해 하나의 체계로 묶은 후 그가 만든 계산의 기호규칙을 통해 수학적으로 취급하였습니다. 고전역학에서 평행운동과 회전운동이 서로 특수하게 다르게 취급된 것처럼 원자 내부에서의 운동들도 어느 정도는 서로 독립적인 것으로 다루어야 한다는 것이 이미 결정된 바 있습니다. 여기에 관련해서 언급해야할 것은 분광선의 속성을 설명하기 위해서는 양성자와 전자들이 자전해야 한다는 가정입니다. 하이젠베르크 교수의 양자역학에서 원자와 분자의 다른 종류의 운동은 다른 체계를 형성합니다. 하이젠베르크 이론의 근본적인 요소는 위치좌표와 전자 속도 사이의 관계와 관련하여 그가 수립한 규칙입니다. 그리고 그 규칙에는 플랑크상수가 양자역학 계산에 결정적인 요소로 도입되어 있습니다.
하이젠베르크 교수와 슈뢰딩거 교수의 이론이 출발점이 다르고 다른 사고 과정을 통해 발전되었지만 두 이론을 동일한 무제에 적용하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
하이젠베르크 교수의 양자역학은 원자와 분자의 분광선이 가진 속성들을 연구하는 데 적용되었고 실험과 일치했습니다. 또한 하이젠베르크 교수의 양자역학은 원자의 분광선을 체계화할 수 있었습니다. 한가지 더 언급되어야 할 것은 하이젠베르크 교수는 두개의 동일한 원자들로 이루어진 분자에 그의 이론을 적용했을 때는 수소 분자는 두 개의 다른 형태로 존재해야하고 동시에 두 형태는 일정한 비율로 존재한다는 것을 예측했습니다. 이 예측은 후에 실험으로 증명되었습니다.
디랙 교수는 가장 일반적인 조건에서 시작하는 파동역학을 정립하였습니다. 처음부터 그는 상대성이론의 가정을 충족하는 파동역학을 만들었습니다. 일반적인 방식으로 파동역학을 만들자 가정으로 생각됐던 전자의 자전이 이론의 결과로 나타났습니다.
디랙 교수는 초기의 파동방정식을 더 간단한 두개의 방정식으로 나누었습니다. 그리고 각각의 방정식에 대한 독립적인 해를 구했습니다. 해 중의 하나는 전자의 질량과 전하량의 크기는 같지만 부호는 다른 양전자가 존재해야하 한다는 것을 예측했습니다. 이 결과로 디랙교수의 이론은 곤란하게 되었는데 그 이유는 그 당시 알려진 입자들 중 양전하를 띤 입자는 전자보다 훨씬 무거운 원자핵뿐이었기 때문입니다. 처음에는 이론이 실재를 반영하지 못한 틀린 이론처럼 보였지만 이론에서 예측된 양전자는 후에 실험에서 발견되어 디랙 교수의 이론이 타당함을 입증해주었습니다.
새로운 양자역학은 워낮와 분자로 이루어진 미시적인 세계에 존재하는 입자들 사이의 관계에 대한 모든 개념들을 크게 변화시켰습니다. 그는 이미 새로운 파동역학의 결과로 물질입자의 불변성에 대한 생각을 수정해야만 했다는 사실을 언급했습니다. 그러나 더 나아가 하이젠베르크 교수는 양자역학에 의거하여 순간적인 시간에 입자가 차지하는 위치와 입자의 속도를 둘 다 결정하는 것은 불가능하다는 것을 보였습니다. 더 자세히 양자역학을 연구한 결과 입자의 우치를 정확하게 고정시키려고 시도하면 할수록 입자의 속도를 결정하는 것이 더 불확실해지며 그 반대의 경우도 그러하다는 것입니다. 더 깊이 고려되어야할 것은 원자 혹은 분자의 상태를 측정할 때는 언제나 그 측정에 사용된 도구나 조명들 자체가 관찰 대상의 상태를 변경시킨다는 점입니다. 전자로부터 방출된 빛은 광학저 도구들에서 변경되게 됩니다. 이제 그 관계는 점점 더 깊어집니다.
빛의 양자를 도입한 결과 양자역학은 미시세계내에서 인과율을 포기해야만 했습니다. 광학도구에 입사된 빛은 분해가 된다는 것을 알고 있습니다. 그러나 광양자는 분해할 수 없습니다. 따라서 빛이 분해될 때 어떤 광양자는 이쪽으로 다른 광양자는 저쪽으로 갈 수밖에 없습니다. 인과율과 관련해 확실하게 말할 수 있는 단 하나의 물리법칙은 하나의 또는 다른 사건이 일어날 확률을 보여준다는 것입니다. 우리의 감각과 도구들이 가진 불완전성 때문에 우리는 단지 평균적인 값만을 감지할 수 있으며, 따라서 우리의 물리법칙이 다룰 수 있는 것은 확률입니다. 그결과 통계적인 방법 외에 물리세계와 일치하는 것이 있는가에 대한 질문도 생겨났습니다.
하이젠베르크 교수님.
젊은 시절에 교수님은 복사이론에 대한 끊임없는 연구로 우리 앞에 제기된 다양한 문제를 해결하기 위해 일반적인 방법인 양자역학을 개발하였습니다. 분자의 속성에 대한 연구에서 다른 무엇보다 수소 분자들이 두가지 형태로 나타날 것이라 예측했고 이것은 나중에 사실로 증명되었습니다. 양자역학은 새로운 개념을 창조했고 물리학을 새로운 사고로 이어질 수 있도록 이끌었습니다. 그리고 이제 이러한 생각들은 물리현상에 근본적으로 중요한 지식으로 증명되었습니다.
스웨덴 왕립과학원은 이러한 연구를 기념하여 1932년의 노벨 물리학상을 수여합니다. 이제 전하로부터 이 상을 수상하시기 바랍니다.
슈뢰딩거 교수님.
교수님은 물질의 파동에 대한 연구를 통해서 워자와 분자 내에서의 운동에 효과적이며 새로운 체계의 파동역학을 정립하였습니다. 교수님은 파동역학으로 원자 물리학에서의 많은 문제들에 대한 해답을 찾아냈습니다. 교수님의 이론은 다양한 외부 조건에서 원자와 분자의 속성 연구에 대한 간단하고도 편리한 방법을 제공하였으며 물리학의 발전에 커다란 도움이 되었습니다.
원자 물리학의 새롭고 효율적인 형식과 그것의 적용에 대해서 스웨덴 왕립과학원은 교수님께 노벨상을 수여하기로 결정하였습니다. 이제 전하로부터 이 상을 수상하시기 바랍니다.
디랙 교수님.
교수님이 발전시킨 파동역학이론은 보편성이 특징인데 그 이유는 처음부터 상대성이론의 가정이 충족되는 조건들을 부여했기 때문입니다. 그 결과 교수님은 전자의 자전과 그것의 속성이 이론에서 필요한 가정이 아닌 이론의 결과라는 것을 보여 주었습니다.
더 나아가서 교수님은 파동방정식을 두 개로 나누는 데 성공하였습니다. 그 두개의 방정식은 해가 두 개인데 그중 한 해는 음전자와 동일한 크기와 전하를 가지는 양전자가 존재해야 한다는 것이었습니다. 이 후 양전자에 대한 실험적 발견으로 교수님의 이론은 훌륭하게 증명되었습니다.
교수님이 제시한 새롭고 생산적인 형태의 원자 이론과 그것의 적용에 대해서 왕립과학원은 노벨상을 수여하였습니다. 그리고 이제 이 상을 전하로부터 받으시기 바랍니다.
스웨덴 왕립과학원 노벨 물리학위원회 위원장 H.플러옐
<당신에게 노벨상을 수여합니다|노벨 물리학상|, 노벨 재단 엮음, 이광렬·이승철 옮김>
질량이 m인 입자가 Potential 에너지 V(x)의 영향하에 1차원 운동을 한다면, Schrodinger 식은 다음과 같다.
여기서 각 문자는,
, 는 wave function, 파동함수로 계의 모든 성질을 내포하고 있는 함수이다. 는 입자가 가진 총 에너지를 뜻한다. 여기서 이미 알고 있는 것은 입자의 질량인 m과 Potential 에너지인 V(x)이다.그리고 모르는 것은 와 이며, 이것을 구하는 것은 위의 2계 미분 방정식을 풀면 된다.
각 차원에 해당하는 Schrodinger Equation은 다음과 같다.
1차원
2차원
3차원
3차원(극좌표계)
여기서,
'H'로 정의하는데, 이것을 Hamiltonian Operator, 헤밀턴 연산자라고 한다. 이렇게 헤밀턴 연산자로 간략히 쓰면, 식은 다음과 같이 바뀐다.
이 Hamiltonian은 전체 에너지를 계산하는 Operator이다.
의 해석, The Born Interpretation of the wave function.
Max Born은 파동함수 의 의미를 입자를 발견할 수 있는 확률과 연관 지었다.
1차원에 대한 파동함수 에 대한 해석은 다음과 같다.
- 입자를 위치 와 사이에서 발견할 확률은 에 비례한다.
똑같이, 3차원에 대한 해석은
- 입자를 위치 와 , 와 , 와 사이에서 발견할 확률은 에 비례한다.
일반적으로 발견할 확률은 에 비례한다. τ(tau)는 해당 차원에 맞는 것을 쓰면 된다.
그리고, 공간과 를 곱한것이 '확률' 이므로, 를 확률 밀도, probability densty 라고 한다.
입자가 있기만 하다면, 확률 밀도를 전구간에 대해서 적분한 것의 값은 1이 되어야 한다.
이것을 정규화(Normalization) 이라고 한다.
이렇게 물리학이 확률과 연관짓게 되는 것에 대해서 Einstein은 다음과 같은 말을 한다. 'God does not play dice!' 즉, 신은 주사위 놀이를 하지 않는다고 했는데 우리가 아직 모르는 것이 있어서 확률로 밖에 연관을 못짓는다고 주장했다. 그러면서 숨은변수이론(local hidden variable theory)를 제시하기도 했으나, 현재는 양자역학이 일어나는 현상을 매우 잘 설명하기 때문에 우리는 양자역학의 확률개념을 사용한다.
파동함수 가 가져야할 조건은 세가지가 있다.
i) 1가 함수, singel-valued여야 할것.
ii) 값이 영역 어디에서나 유한할 것.
iii) 와 의 1차 도함수가 연속일 것.
}{\mathrm{d} x^2} + V(x)\psi (x) = E\psi (x) "-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d} \psi (x)}{\mathrm{d} x^2} + V(x)\psi (x) = E\psi (x)")
,  "\80dpi \psi (x)")
는 wave function, 파동함수로 계의 모든 성질을 내포하고 있는 함수이다. 
는 입자가 가진 총 에너지를 뜻한다. 여기서 이미 알고 있는 것은 입자의 질량인 m과 Potential 에너지인 V(x)이다.그리고 모르는 것은 \psi (x,y) + V(x,y)\psi (x,y) = E\psi (x,y) "-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2})\psi (x,y) + V(x,y)\psi (x,y) = E\psi (x,y)")
\psi (x,y,z) + V(x,y,z)\psi (x,y,z) = E\psi (x,y,z) "-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2})\psi (x,y,z) + V(x,y,z)\psi (x,y,z) = E\psi (x,y,z)")
^2 \right \} \right ]\psi (r,\theta ,\phi ) + V(r,\theta ,\phi )\psi (r,\theta ,\phi ) = E\psi (r,\theta ,\phi ) "-\frac{\hbar^2}{2m}\left [ \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{r^2}\left \{ \frac{1}{sin^2\theta }\frac{\partial^2 }{\partial \phi ^2}+\frac{1}{sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left ( sin\theta \frac{\partial^2 }{\partial \theta ^2} \right )^2 \right \} \right ]\psi (r,\theta ,\phi ) + V(r,\theta ,\phi )\psi (r,\theta ,\phi ) = E\psi (r,\theta ,\phi )")
 +V(x,y,z)\right ] = {\color{blue} \textbf{H}} "\left [ -\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}) +V(x,y,z)\right ] = {\color{blue} \textbf{H}}")
 "\psi (x)")
의 해석, The Born Interpretation of the wave function.
와 
사이에서 발견할 확률은 
에 비례한다.
와 
, 
와 
사이에서 발견할 확률은  \right |^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z "\80dpi \left | \psi (x,y,z) \right |^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z")
에 비례한다.
에 비례한다. τ(tau)는 해당 차원에 맞는 것을 쓰면 된다.
를 곱한것이 '확률' 이므로, 
