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Physical Chemistry/Quantum Chemistry

The Schrodinger Equation, 슈뢰딩거 방정식

 양자이론은 미시세계는 물론 거시세계에도 적용되는 일반적인 체계이다. 양자이론은 원자를 정확하게 기술하기 위해서 꼭 필요하다. 양자이론의 중요성은 많은 실험을 통해 증명되었다. 오늘날까지 양자이론에 의한 예측과 실험을 통한 관측 사이에 아무런 차이가 발견되지 않았다. 그래서 과학자들은 양자이론은 일반상대성 이론과 더불어 20세기 물리학을 받치고 있는 기둥이라는 믿음을 가지고 있다. 양자물리학은 물체를 입자가 아니라 파동의 형태로 기술하여 불연속적인 물질의 원자 구조를 설명하고 있다. 양자이론은 물질을 정확하게 기술하기 위해 꼭 필요하며 여러 가지 인상적인 현상을 설명한다. 

이러한 양자역학에 파동방정식을 도입한 에르빈 슈뢰딩거Erwin Schrodinger, 폴 디랙Paul Dirac과 양자역학의 불확정성원리를 발견한 베르너 하이젠베르크Werner Heisenberg에게 1932년, 1933년 노벨 물리학상이 수여되었다. 다음을 클릭하면 1932년, 1933년 노벨 물리학상의 연설문 전문을 볼 수 있다.







 질량이 m인 입자가 Potential 에너지 V(x)의 영향하에 1차원 운동을 한다면, Schrodinger 식은 다음과 같다.

 
 
여기서 각 문자는,
  , 는 wave function, 파동함수로 계의 모든 성질을 내포하고 있는 함수이다. 는 입자가 가진 총 에너지를 뜻한다. 여기서 이미 알고 있는 것은 입자의 질량인 m과 Potential 에너지인 V(x)이다.그리고 모르는 것은 이며, 이것을 구하는 것은 위의 2계 미분 방정식을 풀면 된다.

각 차원에 해당하는 Schrodinger Equation은 다음과 같다.

1차원


2차원
 

3차원



3차원(극좌표계)



여기서,
 

'H'로 정의하는데, 이것을 Hamiltonian Operator, 헤밀턴 연산자라고 한다. 이렇게 헤밀턴 연산자로 간략히 쓰면, 식은 다음과 같이 바뀐다.



이 Hamiltonian은 전체 에너지를 계산하는 Operator이다.


의 해석, The Born Interpretation of the wave function.

Max Born은 파동함수 의 의미를 입자를 발견할 수 있는 확률과 연관 지었다.

1차원에 대한 파동함수 에 대한 해석은 다음과 같다.
 - 입자를 위치  사이에서 발견할 확률은 에 비례한다.

똑같이, 3차원에 대한 해석은
 - 입자를 위치 , ,  사이에서 발견할 확률은 에 비례한다.

일반적으로 발견할 확률은 에 비례한다. τ(tau)는 해당 차원에 맞는 것을 쓰면 된다.

그리고, 공간과 를 곱한것이 '확률' 이므로, 를 확률 밀도, probability densty 라고 한다.

입자가 있기만 하다면, 확률 밀도를 전구간에 대해서 적분한 것의 값은 1이 되어야 한다.
이것을 정규화(Normalization) 이라고 한다.

이렇게 물리학이 확률과 연관짓게 되는 것에 대해서 Einstein은 다음과 같은 말을 한다. 'God does not play dice!' 즉, 신은 주사위 놀이를 하지 않는다고 했는데 우리가 아직 모르는 것이 있어서 확률로 밖에 연관을 못짓는다고 주장했다. 그러면서 숨은변수이론(local hidden variable theory)를 제시하기도 했으나, 현재는 양자역학이 일어나는 현상을 매우 잘 설명하기 때문에 우리는 양자역학의 확률개념을 사용한다.


파동함수 가 가져야할 조건은 세가지가 있다.

i) 1가 함수, singel-valued여야 할것.
ii) 값이 영역 어디에서나 유한할 것.
iii) 의 1차 도함수가 연속일 것.