The failure of Classical Physics(Atomic Spectrum)

 

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스펙트럼, Spectrum에는 두가지 종류가 있다.

방출 스펙트럼, Emission spectrum : 원자, 분자의 증기를 가열했을 때 방출하는 빛
흡수 스펙트럼, Absorption spectrum : 원자, 분자의 증기에 빛을 쬘 때 흡수되는 빛

Josef Fraunhoffen은 태양의 스펙트럼중 약 700개 선의 파장을 측정하였고, 1968년에는 A.J.Angstrom이 1000개 정도의 스펙트럼선의 파장을 m 단위로 정밀한 표를 만들었는데, 이것이 m = 1Å(옹스트롬)의 유래가 된다.

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[그림 1. 첫번째 그림은 백색광의 스펙트럼, 두번째 그림은 수소의 흡수 스펙트럼, 세번째 그림은 수소의 방출 스펙트럼이다.]

수소 원자의 가시광선 영역의 선 4개의 파장들 간의 관계를 경험적으로 J.J.Balmer가 유도했다. (이때 위의 그림과 달리 선1개는 빠지게 되는데, 3970Å에 해당하는 파장이 빠진다.)

 여기서 n=3이면 빨간색에 해당하는 파장이 나오고, n=4이면 초록색, n=5이면 파란색, n=6이면 보라색에 해당하는 파장의 길이를 알 수 있다. 그리고 를 로 바꾸면 새로운 계열의 선들이 나타날 것을 예언했다.


 J.R.Rydberg 는 대신 (파수, /c = 1/)를 써서 식을 재정리했다.

이때 단위는 1/cm이고, 이것을 일반식으로 쓰자면

 이때 이며, 둘 다 정수이다. 
이후 Paschen (n=3), Lyman (n=1), Brackett (n=4), Pfund (n=5)에 해당하는 계열을 발견한다.

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Niels Bohr의 수소 원자 이론

 가정 1.
전자는 핵 주위를 안정하게 원궤도를 그리면서 운동하는 것으로 가정한다.

[그림 2. 핵의 전하량을 Ze, 전자의 전하량은 e, 반지름 r, 전자의 속도 v, 전자의 질량은 m이다.]

 이때 원 궤도가 유지될 조건은 구심력인 핵과 전자간 인력과 원심력이 같아지는 것이다. 이것을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 여기서 는 진공의 유전율이고, 알고 있는 값은 Z : 양성자 개수, e : 전자의 전하량, m : 전자의 질량이며, 모르는 값은 r : 원자의 반지름, v : 전자의 속도이다. 그런데, 모르는 변수가 두개인데 식은 하나이므로 알 수 없다. 그래서 보어는 두번째 가정을 한다.

 가정 2.
각 운동량의 양자화 : 원운동하는 전자의 각운동량은 의 정수배에 한한다. 즉, 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

가정 1의 식과 가정 2의 식을 조합하여 r에 관해 풀면 다음과 같다.

H의 경우엔 양성자가 한개 있으므로 Z=1 이고, n=1일때의 전자 궤도의 반지름은 52.9pm, n=2일때는 52.9×4pm 이런식으로 되는 것이다.


 가정 3.
전자가 높은 궤도()에서 낮은 궤도()로 떨어질 때 빛을 방출한다고 가정했다.

먼저, 전자의 에너지를 살펴보자. 전자의 에너지는 Potential Energy + Kinetic Energy로 구성되어있다. 그래서 전자의 에너지, E를 표현하면 다음과 같다.

높은 궤도 에서의 에너지는  이고,
낮은 궤도 에서의 에너지는  가 된다.

그리고 이 두 궤도의 에너지 차이가 곧 빛으로 방출 되는 것이므로,
 이다.

이 때, , 는 정수이며, >이다.
그리고 위의 식을 파수로 바꿔쓰면 다음과 같다.

초록색 글씨로 쓴 것은 Bohr의 식에서 유도 한 것이고, 파란색 글씨는 Rydberg의 경험식인데, 이 두식이 근사적으로 일치한다. 즉, Bohr가 세운 원자 모형으로 수소와 수소꼴 원자들()에 대해서는 스펙트럼 밑 원자 반지름등을 완벽하게 설명할 수 있게 된다. 또한 수소 원자의 에너지 준위를 보였다.