The failure of Classical Physics(Black-Body Radiation)

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고전역학으로는 설명할 수 없는 현상들이 발견되면서 이를 설명하기 위한 새로운 이론들이 나왔다. 고전역학으로는 설명할 수 없었던 현상들을 살펴보자.

Black-Body Radiation (Cavity Radiation)
열이 있는 물체는 빛을 낸다.

빛을 발하는 정도는 물체의 종류와는 상관이 없고, 오로지 온도에만 의존한다. 사람도 적외선계열의 빛을 내고 있다. 수학적으로 빛을 내는 현상을 쉽게 처리하기 위해서, 자신에게 도달하는 모든 파장의 빛을 흡수하는 속이 빈 구를 만들고 아주 작은 구멍을 뚫어놓는다. 그 구멍을 통해 나오는 빛을 측정, 실험하게 된다. 그래서 속이 빈 구에서 실험한다고 해서 Cavity Radiation이라고 하기도 한다. 흑체 복사라는 이 현상에서 '흑체' 라는 이름은 '자신에게 도달하는 모든 파장의 빛을 흡수'하기 때문에 붙여졌다.

- 실험적 사실.
i) O.Lummer & E.Pringshein (1877-1900)
흑체에서 발생되는 빛의 파장과 에너지, 흑체의 온도와의 관계를 실험했다.

[그림 1. x축은 파장, y축은 에너지이다. 그리고 곡선의 식을 ρ라 한다.]

이 실험의 그래프에서도 볼 수 있듯이 온도, T가 높아질수록

- 에너지의 총량이 증가
- 최대 에너지에 해당하는 파장, $\90dpi \lambda _{max}$ 는 짧아진다.

한다는 것을 발견했다.

ii) Kirchhoff (1859)
1859년에 독일 물리학자 Kirchhoff는 다음과 같은 경험적 사실을 발견했다.

- 에너지는 흑체의 제질과는 상관이 없으며, 오로지 온도, T에 의해서만 결정된다.

iii) Wien (1893)
T가 증가할 때 $\90dpi \lambda _{max}$ 는 감소하는 상관관계가 있기에, Wien은 다음의 식을 발견했다.

$\mathrm{T}\cdot \lambda _{max}=\frac{1}{5}c_{2}$

여기서 상수, $\80dpi C_{2}=1.44cm\cdot K$ 이다. 이 식을 Wein's Displacement Law 라고 부른다. 그리고 이 법칙으로 천체의 온도를 측정할 수 있다.

iv) Stefan-Boltzmann Law
흑체에서 방출되는 모든 파장의 에너지의 총량을 실험적으로 구하였다.

$\varepsilon = a\mathrm{T}^{4}$
$\mathrm{M}=\sigma \mathrm{T^{4}}$

$\80dpi \varepsilon$ 은 흑체의 단위 부피당 총 에너지를 뜻하며, $\80dpi \mathrm{M}$ 은 흑체의 단위 표면당 총 Power 이다. 그리고 상수 a와 σ의 값은 ㄷ음과 같다.
$\100dpi a=7.56\times 10^{-22}\mathrm{J\cdot m^{-3}\cdot K^{-4}}$
$\100dpi \sigma =5.67\times 10^{-8}\mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}$

이와 같은 실험과 관찰로 발견된 사실로 이론 물리학자들은 다음 세 조건을 충족시키는 이론을 찾기 시작했다.

1. $\80dpi \lambda$ 를 변수로 놓고 $\80dpi \rho$ 의 식을 유도

2. $\80dpi \frac{\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d} \lambda }=0$ 를 만족하는 $\80dpi \lambda$ 는 $\80dpi \lambda _{max}$ 가 되어야한다. ( $\80dpi \because$ Wein's Law)
3. 곡선 $\80dpi \rho$ 의 면적은 E의 총량이므로, $\100dpi \int d\epsilon = \int_{\lambda =0}^{\infty }\rho \: d\lambda$ 를 만족해야한다. ( $\80dpi \because$ Stefan-Boltzmann Law)

Rayleigh-Jeans law
Rayleigh와 Jeans는 저 그래프를 만족하는 $\80dpi \rho$ 의 식을 찾았는데, 식을 유도하는 과정에서 고전역학에 바탕을 두었다.

$\rho = \frac{8\pi k\mathrm{T}}{\lambda ^{4}}$

여기서 $\80dpi k$ 는 Boltzmann 상수이다.
이 식이 맞는지 극한으로 점검을 해보면,

$\lim_{\lambda \to \infty }\rho =0$ 파장이 길어지면 그래프와 같아지지만,
$\lim_{\lambda \to 0 }\rho =\infty$ 이 결과를 보면, 파장이 짧아지면 온도가 낮아도 복사에너지는 무한대로 증가함을 알 수 있는데, 이는 실험 결과와 정 반대이다!
이를 UV-catastrophe 라고 한다.

[그림 2. 파장이 짧아지면 에너지가 무한대로 발산해버린다. 관찰결과와는 맞지 않는다.]

Max Planck의 Quantum Theory (1900)

Planck의 가정.
빛의 에너지는 진동수에 비례하는 최소단위들만 된다.
$\100dpi \textup{E}\propto \nu$ 이므로, 적절한 비례상수를 써서 등식으로 만들면 $\100dpi \textup{E}=h \nu$ 가 되는데 이것이 에너지의 최소 단위이며, 에너지가 취할 수 있는 값은 $\100dpi \textup{E}=nh \nu$ 으로, n은 1,2,3... 인 정수이다.

이런 가정을 바탕으로 Planck가 새롭게 새운 $\80dpi \rho$ 의 식은 아래와 같다.

$\rho =\frac{8\pi hc}{\lambda ^{5}}(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda K\textup{T}}}-1})$

이 식이 맞는지 점검을 하자.

a) Asymptotic behavior
i) 파장이 무한대로 길어지는 경우
$\frac{hc}{\lambda K\textup{T}}=x$ 로 놓고, $\lim_{\lambda \to \infty }x=0$ 이 되므로,

$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!}\cdots$ 를 만족하니까,

$\rho =\frac{8\pi hc}{\lambda ^{5}}(\frac{1}{({\color{red} 1}+x+{\color{blue} \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}\cdots }){\color{red} -1}})$ 가 되는데, 빨간색 1은 서로 지워지고, 파란색은 0에 가까워지므로 무시한다.
$=\frac{8\pi hc}{\lambda ^{5}}\cdot \frac{1}{x}=\frac{8\pi hc}{\lambda ^{5}}\cdot \frac{\lambda k\textup{T}}{hc} = {\color{green} \frac{8\pi k\textup{T}}{\lambda ^{4}}}\Rightarrow 0$

초록색이 유도가 되는데 이는 Rayleigh-Jeans law와 같아진다. 그리고 $\80dpi \lambda$ 가 무한대로 커지므로 전체적으로는 0으로 수렴한다.

ii) 파장이 짧아지는 경우

$\lim_{\lambda \to 0}\frac{hc}{\lambda k\textup{T}}=\infty$ 이므로,
$\lim_{\lambda \to 0}\frac{8\pi hc}{\lambda ^{5}}\cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k\textup{T}}}-1} = \frac{\infty ^{5}}{e^{\infty }}=0$ 가 된다.

$\80dpi \therefore$ Planck 식은 파장이 짧아지거나 길어질 때 모두 0으로 수렴하고, 중간 $\80dpi \lambda$ 에서 최댓값을 가진다.
즉, 실험에서 얻은 곡선과 성격이 같다.

· Planck는 h값을 조절하여 실험곡선과 이론식을 일치하였는데, 그 값은 다음과 같다.
$\100dpi h = 6.626\times 10^{-34} \textup{J}\cdot s$

b) Wein's Displacement Law
Planck의 식과 Wein's Displacement Law 의 수학적 관계 : Planck 식을 $\80dpi \lambda$ 로 미분하고 극댓값을 가지는 조건을 구하면 그것이 $\80dpi \lambda _{max}$ 가 된다.

$\frac{\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d} \lambda } \equiv 0 = 8\pi hc \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\frac{1}{\lambda^5}\cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k\textup{T}}}-1})$

$\lambda _{max}= \frac{hce^{\frac{hc}{\lambda _{max}k\textup{T}}}}{5k\textup{T}(e^{\frac{hc}{\lambda _{max}k\textup{T}}}-1)}$

이 식에서 $\frac{\lambda _{max}k\textup{T}}{hc} = x$ 라 하면, $\80dpi x(1-e^{\frac{1}{x}})=1/5 \Rightarrow x=0.2015$ 가 된다.

즉, $\80dpi 0.2015 = \frac{\lambda _{max}k\textup{T}}{hc} \Rightarrow \lambda _{max}\cdot \textup{T} \approx \frac{1}{5}\cdot {\color{red} \frac{hc}{k} }$

빨갛게 표시한 저 값은 Wein's Displacement Law 의 $\80dpi C_{2}=1.44cm\cdot K$ 와 값이 일치한다!

c) Stefan-Boltzmann Law
수학적 관계 : Planck 식의 에너지를 전 파장영역에서 적분하면 총 에너지가 된다.

$\varepsilon = \int_{\lambda =0}^{\infty }\frac{8\pi hc}{\lambda ^{5}}\cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k\textup{T}}}-1}d\lambda = {\color{red} \frac{8\pi ^{5}k^{4}}{15c^{3}h{3}}}\textup{T}^{4} = {\color{red} a}\textup{T}^{4}$

적분을 하면, 결론적으로는 Stefan-Boltzmann Law의 상수와 값이 같아진다.

따라서, Planck가 세운 식으로 흑체복사에 대한 설명이 가능해진다.

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