실험 제목 : Measurement of Viscosity
실험 원리 : Determine viscosity of liquid using the Ostwald viscometer and drop ball method and examine temperature effect on viscosity
실험 원리
점성도에 대한 설명은 아래 주소에서도 읽을 수 있습니다.
http://joonyoungsun.tistory.com/entry/완전-기체의-운반-성질-Transport-properties-of-a-perfect-gas1
○점성도
운동량 유량과 점성도 사이의 관계를 생각해보자. 오른쪽 그림처럼 x축 벽을 따라 진행하는 유체가 있다. 이 유체는 Newton 흐름Newtonian 상태를 따른다. 각각의 층은 lamina라고 한다.이러한 유체는 그림처럼 여러 층들을 이루어서 흐르는 것이라 생각한다. 용기의 벽과 접해있는 층은 정지해있고, 잇따르는 층들이 가지는 속도는 기벽으로부터 거리에 따라 선형적으로 변한다.
분자들은 이 층들 사이에서 교환된다. 교횐될 때 원래 있던 층의 속도에 따라 가졌던 x 축 운동량 성분을 가지고 온다. 그래서 느리게 흐르는 층에서 온 분자들은 x축 운동량 성분이 낮은 상태로 오게되어 층 속도를 느리게 한다. 반대로 빠르게 흐르는 층에서 온 분자들은 x축 운동량 성분이 빠른 상태로 오게되어 층 속도를 빠르게 한다. 이런 효과로 인해 생기는 지연 효과가 점성이다.
지연 효과는 관심을 가지는 흐름 층으로 오는 선형 운동량의 x축 성분의 크기에 의존한다. 그래서 점성은 x축 운동량 성분의 z 축 방향으로의 유량에 의존한다. 그래서 이렇게 쓸 수 있다.
(1)
여기서 비례상수 η는 점성도 계수, coefficient of viscosity라고 하며 단위는 kgm-1s-1이다. 그런데 포아즈,Poise(P)라는 단위가 자주 사용되는데, 1 P=10-1 kgm-1s-1이다.
○Capillary-flow method
점성도 계수η를 측정하는 좋은 방법은 원형 단면을 가지는 아주 긴 원통형 튜브를 통해 흐르는 유체의 일정한 부피의 속도를 구하는 것이다. 이를 구하기 위해서 식(1)을 응용할 것이며, 문제를 쉽게 다루기 위해서 몇가지 가정을 한다.
1. 유체는 Newton 흐름Newtonian을 따르고, 압축불가능하다.
2. 벽에 평행한 층laminar으로 흐른다. 따라서 튜브를 흐르는 유체는 동심원을 이루는 원통형 모양의 층들이다.
3. 벽과 인접한 층laminar는 벽에 붙어 있다. 따라서 속도는 0이다.
4. 흐름은 일정하며, 튜브에 있는 한 고정된 점에서 유체의 속도는 시간에 무관하다.
점 a 와 b 사이의 driving pressure
(2)
이때 Pa와 Pb는 외부 압력, ha와 hb는 기준점으로부터의 높이, ρ는 액체의 밀도, g는 중력가속도이다.
유체의 흐름이 a에서 b로 갈 때
(3)
이때 v는 반지름 s의 층에서 유체의 속도를 말한다. 속도는 흐름의 방향이 양수가 되도록 고려한다. 변수 분리법을 통해 s와 v를 벽으로부터(s=r, v=0) 적분하면 다음과 같이 된다.
(4)
(5)
s의 값을 넣으면 속도 v를 구할 수 있다. 그리고 2차함수 꼴이므로 속도의 그래프는 포물선 모양이 된다. 1 초에 단면적을 지나는 유체의 부피 dV/dt는 전체 단면적을 적분하면 구할 수 있다.
(6)
일정 시간동안 주어진
(7)
이 식을 Hagen-Poiseuille equation이라고 한다.
오른쪽의 그림은 오스트발트 점도계Ostwald viscometer이다. 유체가 흐를 수 있는 모세관 튜브 위에 부피가 정확한 저수지reservoir가 있다. 오른쪽 그림의 저수지의 부피는 A와 B 사이에서 정확하게 정의된다. 식(2)에서 정의된 Driving pressure
(8)
식(8)의 계수들의 정확한 측정이 어렵고 높이 h가 매측정때마다 약간씩 변하는 문제를 단순화하기 위해서 앞의 계수를 하나로 묶어 아래와 같이 간단한 식으로 가정한다.
(9)
계수 A는 각 점도계마다 상수가 된다.
○Falling-ball method
Capillary-flow method는 적절한 모세관 단면적을 선택한다면 유용하지만, 유체의 점성도가 100 poises 가 한계이다. 10~10,000 poises의 더 넓은 범위를 측정하고자 한다면 falling-ball method가 적합하다.
만약 구형의 물체가 유체 속에서 충분히 느린 속도v로 움직인다면 라미나 흐름이 있다. 비압축성 newtonian 유체가 점성도 계수η를 가지고 있다면, 공이 못내려가게 하는 힘retarding force, f는 아래의 Stockes 식으로 주어진다.
(10)
이때 r은 구의 반지름이다. 만약 구체가 유체 속에서 자유롭게 떨어진다면, 속도는 가속되다가 중력과 공이 못내려가게 하는 힘이 서로 상쇄되는 속도에서 일정 속도로 떨어질 것이다. 부력을 생각해서 힘의 평형을 이루는 식은 다음과 같다.
(11)
위 식에서 ρ는 떨어지는 구체의 밀도, ρ0는 액체의 밀도, g는 중력 가속도이다.
오른쪽 그림은 falling-ball 점도계로 안은 점성도를 모르는 유체로 가득 채워져 있는 원통형 튜브이다. 적당한 밀도와 반지름을 가지는 공은 튜브를 따라 떨어진다. 공이 일정한 속력을 가지고 떨어지는데 걸리는 시간을 기록한다.
○Molecular Theory
다원자 분자 액체를 정확하게 예측할 수 있는 액체의 점성도 분자 이론은 아직 없다. 하지만 반응 속도의 Eyring 이론은 점성도 데이터를 온도 등의 변수와 연관지을 수 있게 해준다. 점성도에 적용한 Eyring equation은 아래와 같다.
(12)
위 식에서 h는 플랑크 상수, NA는 아보가드로 수, V는 몰당 부피(=M/ρ), M은 분자량, ΔG‡는 점성이 있는 흐름의 표준 활성화 에너지standard free energy of activation for viscous flow이다.
식(12)에서 η의 온도 의존성은 아래의 식에서도 찾을 수 있다.
(13)
이때 ΔH‡는 활성화 되는 과정의 엔탈피 변화enthalpy change for the activation process이며, 깁스 에너지의 정의에 따라서 아래의 식을 통해 엔트로피 S도 구할 수 있다.
(14)
실험 방법
○ Ostwald viscometer
1. Ostwald viscometer를 깨끗이 씻는다.
2. 피펫을 사용해 큰 저수지의 1/3과 작은 저수지 사이에 증류수distilled water를 채워넣는다.
3. 수조water bath에 열 평형이 이루어질 때까지 약 10분간 점도계를 담궈둔다.
4. 고무를 점도계의 위쪽에 달고 빨아들여서 작은 저수지의 높은 선까지 올린다.
5. 위의 선에서 아래 선까지 내려가는데 걸리는 시간을 측정하며, 네 번을 측정해 평균을 구한다.
6. 25 ℃, 35 ℃, 45 ℃ 세 온도에서 실험을 실시한다.
7. 메탄올methanol에 대해서도 위와 같은 과정을 실시한다.
○Drop ball Method
1. 공의 평균 지름을 구하고, 무게를 재서 평균 부피와 밀도를 구한다.
2. Drop ball tube를 글리세롤glycerol로 채워서 25 ℃ 수조에 담군다.
3. 글리세롤의 열평형이 이루어질 때까지 약 30분간 담궈둔다.
4. 공이 a에서 b 까지 내려가는데 걸리는 시간을 측정하며, 네 번을 측정해 평균을 구한다.
5. 같은 과정을 35 ℃, 45 ℃에서 실험을 실시한다.
실험 결과
○ Ostwald viscometer
물의 측정값
온도 |
25 ℃ |
35 ℃ |
45 ℃ |
1회 |
27.55 s |
20.91 s |
19.06 s |
2회 |
27.27 s |
20.05 s |
19.51 s |
3회 |
22.60 s |
21.49 s |
18.15 s |
4회 |
22.40 s |
21.24 s |
20.51 s |
평균 |
24.96 s |
20.90 s |
19.31 s |
메탄올의 측정값
온도 | 25 ℃ | 35 ℃ | 45 ℃ |
1회 | 22.29 s | 17.61 s | 20.13 s |
2회 | 21.98 s | 18.30 s | 20.33 s |
3회 | 18.09 s | 20.00 s | 16.54 s |
4회 | 18.47 s | 16.89 s | 16.80 s |
평균 | 20.21 s | 18.20 s | 18.45 s |
물과 메탄올의 온도에 따른 밀도, 상대점도, 절대점도의 값
절대점도는 물은 25 ℃에서 0.894 cP, 메탄올은 0.544 cP, 글리세롤은 1200 cP를 기준으로 식(9)를 변형하여 아래의 식을 써서 다른 온도의 상대점도를 구하였다. 상대점도를 통해 다른 온도의 절대점도를 구하였다. 아래의 식에서 d는 온도 T일때의 밀도, t는 온도 T일 때 걸린 시간이다.
(15)
|
물 |
메탄올 |
||||
온도 |
밀도 |
상대점도 |
절대점도 |
밀도 |
상대점도 |
절대점도 |
25 ℃ |
0.997 |
1 |
0.894 |
0.816 |
1 |
0.544 |
35 ℃ |
0.994 |
0.834 |
0.747 |
0.8092 |
0.89315 |
0.4859 |
48 ℃ |
0.990 |
0.768 |
0.687 |
0.7981 |
0.89299 |
0.4858 |
물과 메탄올의 점성도 활성화 에너지
식 (12)에 의하면 깁스 자유 에너지가 활성화 에너지로 생각할 수 있다.
(16)
활성화 에너지를 구하기 위해서 지수함수 앞에 있는 부분을 넘기면 아래와 같이 된다.
(17)
이제 양변에 로그를 취하면 식은 아래와 같이 변한다.
(18)
1/T를 x축으로 lnη를 y축으로 삼으면 기울기가 E/R, y절편이 lnA인 1차 방정식이 된다. 이제 위에서 구한 값으로 1/T와 lnη를 구하면 다음과 같다. 로그 안을 cP로 나누는 까닭은 로그 안에 들어가는 숫자가 단위가 없어야하기 때문이다.
1/T |
ln(water viscosity/cP) |
ln(methanol viscosity/cP) |
0.003354 |
-0.1121 |
-0.6088 |
0.003245 |
-0.2913 |
-0.7218 |
0.003143 |
-0.3754 |
-0.7219 |
이를 그래프로 그리면 아래와 같이 된다.
물의 기울기는 1252.4 , 메탄올의 기울기는 541.74 이다. 여기에 기체상수 R을 곱하면 활성화 에너지E의 값을 구할 수 있다.
물의 활성화 에너지 E = 1252.4×8.314 J/mol = 10.41 kJ/mol
메탄올의 활성화 에너지 E = 541.7×8.314 J/mol = 4.50 kJ/mol
○Drop ball Method
공의 지름 = 9.5 mm, 공의 무게 평균=3.52 g 따라서 공의 부피는 0.449 cm3, 공의 밀도는 7.84 g/cm3이다.
글리세롤 측정값
일정 거리를 쇠공이 떨어지는 데 걸린 시간을 측정한 값
온도 | 25 ℃ | 35 ℃ | 45 ℃ |
1회 | 1.68 s | 0.98 s | 0.40 s |
2회 | 2.45 s | 1.04 s | 0.53 s |
3회 | 1.78 s | 0.99 s | 0.40 s |
4회 | 1.96 s | 1.05 s | 0.45 s |
평균 | 1.97 s | 1.02 s | 0.45 s |
글리세롤의 온도에 따른 밀도, 상대점도, 절대점도
식 (11)을 변형해서 아래의 식으로 상대점도를 구하고, 25 ℃의 1200 cP에 곱해 다른 온도의 절대점도를 구했다.
(19)
식(19)에서 ds는 쇠공의 밀도, d1와 d2는 각 온도에서 액체의 밀도, t는 쇠공이 떨어지는데 걸린 시간이다.
온도 |
밀도 |
상대점도 |
절대점도 |
25 ℃ |
1.2583 |
1 |
1200 cP |
35 ℃ |
1.2522 |
0.5163 |
621.9 cP |
45 ℃ |
1.2466 |
0.2266 |
274.6 cP |
글리세롤의 점성도 활성화 에너지
식 (12)에 의하면 깁스 자유 에너지가 활성화 에너지로 생각할 수 있다.
(16)
활성화 에너지를 구하기 위해서 지수함수 앞에 있는 부분을 넘기면 아래와 같이 된다.
(17)
이제 양변에 로그를 취하면 식은 아래와 같이 변한다.
(18)
1/T를 x축으로 lnη를 y축으로 삼으면 기울기가 E/R, y절편이 lnA인 1차 방정식이 된다. 이제 위에서 구한 값으로 1/T와 lnη를 구하면 다음과 같다. 로그 안을 cP로 나누는 까닭은 로그 안에 들어가는 숫자가 단위가 없어야하기 때문이다.
1/T |
ln(glycerol viscosity/cP) |
0.003354 |
7.090 |
0.003245 |
6.433 |
0.003143 |
5.615 |
이를 그래프로 그리면 아래와 같이 된다.
글리세롤의 기울기는 6979.5가 되며, 여기에 기체상수 R을 곱하면 활성화 에너지를 구할 수 있다.
글리세롤의 활성화 에너지 E = 6978.5×8.314 J/mol = 58.02 kJ/mol
평소에 느낀 각 물질의 점성도와 실험 결과가 일치함을 볼 수 있다. 또 각 물질의 수소결합의 수(메탄올 1개, 물 2개, 글리세롤 3개)로부터 생기는 분자간의 인력이 증가해서 점성도가 증가함을 실험을 통해 볼 수 있다.
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