Michaelis-Menten Model

 효소의 기능은 생명체가 필요로 하는 반응의 반응속도를 빠르게 하는 것이다. 그래서 효소가 효소의 기능을 어떻게 하는지 설명하기위해서는 반응속도론적 설명이 필요하다. 반응속도론적 설명은 어떤 효소가 얼마나 빠르게 작용하는지, 세포 내에서의 기질(substrate)의 농도에 따라서 효소가 얼마나 빠르게 작용할 것인지, 어떤 지길이 그 효소에 의해 쉽게 작용되는지를 설명할 수 있게 된다.

 효소를 반응속도론으로 설명하기 위해서 Michaelis-Menten 효소라고 부르는 간단한 효소를 표현하는 모델을 사용할 것이다. 1초당 생성되는 생성물의 몰수로 정의되는 촉매반응속도 V₀는 효소의 농도가 일정할 때 기질의 농도 [S]에 대해서 다음과 같이 변한다.

[x축은 기질의 농도 [S], y축은 반응 속도이다. 빨간색 선은 최대 속도이다.]

효소와 기질이 만나 ES complex(효소-기질 복합체)를 이루고 그 복합체에서 효소와 생성물P가 된다고 생각하자. 즉, 아래의 반응식처럼 기질 S가 생성물 P로의 전환을 촉매하는 효소 E를 생각하자.

여기서 k₁은 효소-기질 ES complex가 생성되는 속도 상수이고, k₂는 생성물 P가 생성되는 속도상수, k_-1와 k_-2는 각각의 역반응에 대한 속도상수이다. 이때 ES complex는 속도상수 k_-1을 가지고 다시 E와 S로 분리될 수 있고, 속도상수 k₂를 가지고 E와 P로 될 수 있다. 그리고 ES는 k_-2를 가지고 E와 P로부터 다시 생겨날 수 있다. 하지만 무시할만한 생성물의 생성이 있다고 가정하고, 따라서 역반응이 없을 때인 [P]=0에 가까운 시간들에서의 반응속도 V₀를 고려하자.

촉매의 속도는 생성물 P를 만드는 속도 V₀는 ES 농도에 비례한다. 즉, 아래의 식과 같다.

V₀=k₂[ES]

그러면 ES의 농도는 형성속도=k₁[E][S] 와, ES의 분해속도 = (k_-1+k₂)[ES] 에 의해 결정되게 된다.
문제를 조금 더 쉽게 하기 위해서 Steady-state assumption(평형-상태 가설)을 도입하자.  이는 평성 상태에서는 반응물과 생성물의 농도들이 변하고 있다고 하더라도 중간체의 농도는 변하지 않는다는 것이다. 즉, 이 경우에서는 [ES]는 불변이 된다.

[ES]의 농도가 불변이려면 ES의 형성속도와 분해속도가 같다는 것이므로 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

그리고 이 식을 정리하면, 다음 식을 얻게 된다.

이 식에서 Michaelis constant 라고 하는 K_M 을 얻게 된다. K_M은 농도의 단위를 가지고, 효소와 기질의 농도에 의존하지 않는다. 그리고 식을 약간 바꿔쓰면, [ES]=[E][S]/K_M 이다.
 보통의 조건에서는 기질의 농도가 효소의 농도보다 훨씬 많다. 즉, [S]>>[E]이며, 결합되지 않은 효소의 농도는 전체 효소의 농도[E]_T에서 결합한 효소인 ES complex의 농도를 빼면 될 것이므로 이를 식으로 표현하면

[E]=[E]_T-[ES]

그리고 이걸 바꿔쓴 식에 대입해주면,

그리고 이를 [ES]에 대해서 풀면, 다음과 같다.

그리고 위에서 V₀=k₂[ES] 이라고 하였으므로, 양변에 k₂를 곱하자. 또한, 최대 속도는 [E]_T가 모두 [ES]가 되었을 때이다. 즉, V_max=k₂[E]_T 이다.

이제 필요한 것만 취하면,

이것이 바로, Michaelis-Menten equation 이 된다. 이 식을 조금만 더 살펴보면, [S]=K_M일 때 속도는 V_max/2 가 된다. 즉, K_M가 작으면 작은 농도에서도 속도가 빠름을 의미한다.

그리고 Michaelis-Menten 식의 양변을 역수를 취한 것은 Lineweaver-Burk equation (또는 double reciprocal plot)으로 다음과 같다.

1/V₀를 y로 1/[S]를 x로 놓고 그래프를 그리면 기울기는 K_M/V 이고, y절편은 1/V_max 이며, x절편은 -1/K_M인 직선의 그래프가 얻어진다. 보통의 효소의 반응속도는 Lineweaver-Burk 식을 사용해 직선으로 표현한 다음, 알아내게 된다.