삼각다항식 근사, Approximation by Trigonometric Polynomials

 푸리에 급수Fourier Series는 미분 방정식의 해법에 중요한 역할을 하기도 하지만, 근사법Approximation theory에서도 중요한 역할을 한다.

 f(x)가 구간 -π≤x≤π에서 반복되는 주기함수 일 때, f(x)의 푸리에 급수는 무한한 항을 전부 더하는 것이지만, N번까지 더한 F(x)를 N차 삼각다항식,Trigonometric polynomial of degree N이라고 한다.

 F(x)는 f(x)를 근사시킨 것으로 f(x)와는 어느정도 차이가 있다. 가장 좋은 근사식은 오차error가 가능한 한 작게 만든 것이다. 그래서 먼저 오차, E를 정의하면 다음과 같다.

 위의 오차를 제곱 오차, square error라고 한다. 제곱오차는 당연히 E≥0 이다.

[-π, π]에서 주어진 함수 f(x)에 대해 제곱 오차를 최소로 하는 N차 삼각다항식 F(x)을 알아보자. 먼저 f(x)는 다음과 같이 전개된다고 하자.

 그리고 임의의 N차 삼각다항식이 다음과 같다고 하자.

제곱 오차를 E, 가장 작은 제곱오차를 E^* 라고하면 다음과 같이 된다.

 왼쪽의 부등호가 성립될 필요충분조건은 A₀=a₀, A_n=a_n, B_n=b_n 일 때이다.

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Parseval 정리, Parseval's theorem

 삼각다항식으로부터 얻어지는 정리가 있는데 Parseval 등식, Parseval's identity라고도 부르는 Parseval 정리가 그 중 하나이다.

만약  이면, 다음 식이 성립하고 Parseval 등식이라 한다.

이 Parseval 등식이 적용되는 예를 살펴보자.
f(x)=x 이고, [-π, π], f(x+2π) =f(x)인 함수를 살펴보자. f(x)의 푸리에 급수Fourier Series는 다음과 같이 표현된다.

이를 Parseval 등식으로 표현하면 다음과 같이 된다.

즉 무한급수 1/n^2 의 수렴값을 알 수 있게 된다.