푸리에 급수Fourier Series는 일정 부분이 반복되는 주기함수를 삼각함수의 합으로 표현하는 무한 급수이다. 푸리에 급수는 상미분방정식과 편미분방정식을 푸는데 중요한 도구가 될 수 있다. 푸리에 급수는 테일러 급수Taylor series보다도 활용범위가 넓다. 그 이유는 푸리에 급수는 불연속적인 주기함수를 표현할 수 있지만, 테일러급수는 표현할 수 없기 때문이다.
먼저 어떤 f(x)라는 함수가 주기가 2π인 주기함수라 하자. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
주기함수의 예로는 다음과 같은 그래프가 있다.
이러한 함수의 그래프는 임의 길이 구간의 그래프를 주기적으로 반복함으로써 얻어진다.
Fourier 급수는 위 그래프처럼 다항식으로 표현하기 힘든 주기성이 있는 함수를 삼각함수의 합으로 표현하고자 했다. 다음이 Fourier 급수의 형태이다.
정의. Fourier 급수
=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty }\left ( a_n\cos (nx) + b_n \sin (nx) \right ) "f(x)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty }\left ( a_n\cos (nx) + b_n \sin (nx) \right )")
우변의 무한급수를 f(x)의 Fourier 급수라고 하고, an, bn을 f(x)의 Fourier coefficient푸리에 계수라고 한다.
우변의 무한급수를 f(x)의 Fourier 급수라고 하고, an, bn을 f(x)의 Fourier coefficient푸리에 계수라고 한다.
Fourier 급수는 정의를 했는데, Fourier 계수를 구하는 방법이 문제다. Fourier 계수를 구하기 위해서 오일러 공식Euler Formula를 알아야한다.
위의 Euler 공식을 이용해 Fourier 계수를 구해보자. 먼저 a1에 해당하는 cosx를 양변에 곱하고 적분을 하자.
이제 보라색 부분은 전부 0이 되어 사라지고, 남은 결과는 다음과 같다.
즉, 이를 정리하면 Fourier 계수는 다음과 같이 구한다.
다음과 같이 생긴 함수를 Fourier 급수로 나타내어 보자.
위 함수의 그래프를 그리면 다음과 같다.
이제, Fourier 계수를 구해보자.
bn을 좀 더 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
우리가 원하는 Fourier 급수는 다음과 같이 표현된다.
이를 그래프로 그리면 다음과 같이 된다.
[m=2까지 더한 것]
[m=12 까지 더한 것]
[m=25까지 더한 것]
[m=50까지 더한 것]
이론적으로는 무한히 더한다면 Fourier급수는 원래 함수와 완전히 모양이 같게 된다.
위의 Fourier 급수가 수렴을 하려면 다음 세가지 조건을 만족시켜야 한다.
1) f(x)가 주기가 2π인 주기함수
2) [-π,π]에서 f(x)의 불연속점이 유한개
3) f(x)가 연속인 점에서 미분가능
그리고 위의 세가지 조건을 만족시키고, 불연속점에서는 다음을 따른다
● f(x)가 x0 [-π,π]에서 불연속일 때, 좌미분계수 f'(x0-), 우미분계수 f'(x0+)가 존재하면 x0에서 Fourier 급수의 값은
간단히 말해서, 두 점의 평균값으로 수렴하는 것이다.
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