푸리에 적분, Fourier Integral

 푸리에 급수, Fourier Series는 유한한 구간에서 주기성이 있는 함수를 표현하는 데 있어 강력한 도구이다. 그런데, 함수가 주기함수가 아니라면 그때 푸리에 급수는 어떻게 표현할 수 있을까?

 비주기함수의 푸리에 급수를 표현하기 위해서는 먼저 절대적분가능하다, Absolutely Integrable이라는 것을 정의하자. 

|f(x)|가 절대적분가능하다, f is Absolutely Integrable 이라는 것은 다음과 같은 의미이다.

위 식은 위의 적분값이 유한한 값을 가진다는 뜻이다.

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절대적분가능한 f(x)가 있다. 이 함수는 주기함수가 아니지만 임의의 구간을 잘라서 주기함수로 만들어버리자.

위 함수를 표현하는 푸리에 급수는 다음과 같이 된다.

원래의 함수는 비주기함수였으므로 비주기함수로 만들기 위해서 L→∞ 이 되는 극한을 취하고 싶다. 그러면 푸리에 계수Fourier coefficient들이 어떻게 변하는지 보자. 먼저 a₀는 다음과 같은 이유로 0이 된다.

그리고 계산의 편의를 위해 nπ/L=w_n으로 치환하겠다. 그러면 Δw는 다음과 같이 주어진다.

그러면 f_L(x)의 푸리에 급수는 다음과 같이 표현된다. 푸리에 계수를 구하기 위한 변수를 y라 하겠다. 

 그런데 1/L은 Δw/π 로 표현할 수 있고, 위의 함수에 L→∞ 되는 극한을 취하게 되면 리만합의 형태가 되어 적분형태로 변하게 된다.

그리고 편의상 앞의 적분을 A(w)로, 뒤의 적분을 B(w)로 표현하겠다.

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푸리에 사인, 코사인 적분,  Fourier cosine, sine integral

●만약 f가 우함수라면, 즉 f(-x)=f(x)라면, A와 B는 다음과 같이 된다.

그리고 푸리에 적분은 다음과 같이 표현된다.

위의 푸리에 적분을 푸리에 코사인 적분, Fourier cosine integral 이라고 한다.

●만약 f가 기함수라면, 즉 f(-x)=-f(x)라면 A와 B는 다음과 같이 된다.

그리고 푸리에 적분은 다음과 같이 표현된다.

위의 푸리에 적분을 푸리에 사인 적분, Fourier sine integral 이라고 한다.