Fourier Series of any period

 Fourier Serise푸리에 급수는 주기가 2π인 함수에 대해서 표현할 수 있었다. 하지만 모든 주기 함수의 주기가 2π보다는 다른 주기를 가지고 있다. 그래서 다음 함수처럼 주기가 2L인 f(x)의 Fourier 급수를 생각하자.

이제 위의 함수를 Fourier 급수로 표현하기 위해서 새로운 함수 g(y)를 생각하자. x와 y는 다음과 같은 관계를 가지고 있다.

그러면 주기함수의 주기가 2L에서 2π로 바뀌게 된다. 따라서 함수는 다음과 같이 된다.

g(y)의 Fourier 급수는,

각 계수들은 다음과 같이 정의되는데, 이를 다시 x로 바꾸어서 표현도 하면,

이제 f(x)는 다음과 같은 Fourier 급수로 표현된다.

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다음의 f(x)는 p=2L = 4를 주기로 하는 주기 함수이다.

이를 Fourier 급수로 표현해보자.

따라서, f(x)의 푸리에 급수는 다음과 같다.