기체 분자의 평균 속력

 기체 분자 운동론에서 아래와 같은 Maxwell-Boltzmann 확률분포식을 유도했었다.

 위 식에서 v는 기체 분자의 속도, m은 분자의 질량, k_b는 볼츠만 상수, T는 온도이다. 아래의 그림은 298K, 500K, 1000K에서의 산소 분자의 속력 분포이다.

위 식으로부터 기체의 평균 속력을 유도해보자. 기체의 평균 속력에는 세 종류가 있다. 가장 잦은 속력,the most probable speed는 위 그래프에서 최고점의 속력으로 가장 많은 분자가 움직이는 속도이다. 평균 속력, the mean speed는 주어진 온도에서 분자 속력의 산술 평균이다. 근 평균 제곱 속력, the root-mean-square speed는 주어진 온도에서 분자 속력의 제곱의 산술 평균의 제곱근이다.

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 가장 잦은 속력,the most probable speed

가장 잦은 속력은 그래프에서 최고점의 속력에 해당하므로 극댓값을 구하면 된다. 함수를 v에 대해서 미분을 하여 0이 되는 v값을 찾으면 된다.

양 변을 0이 될 수 없는 로 나누고 정돈하면 다음과 같이 된다.

 v²는 다음과 같이 된다.

 가장 잦은 속력을 c^*라고 쓴다면, c^*는 다음과 같다. (또는 v_p라고도 쓴다.)

 위 식에서 m은 분자 1개의 무게를 넣어야하며 단위는 kg단위로 해야된다. 298K에서 산소 분자의 가장 잦은 속력은 394m/s 가 된다.

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 평균 속력, the mean speed

 평균 속력<v>은 주어진 온도에서 분자 속력의 산술 평균으로 주어진다. 즉, 다음 계산하면 된다.

 적분 구간이 양수인 이유는 속력만을 고려하기 때문이며, 적분표에서 를 이용하여 위 적분을 계산하자.

 분자의 질량m을 몰질량M으로 바꿔 표현하면 평균 속력은 다음과 같이 된다.

 298K에서 산소 분자의 평균 속력을 구하면 444m/s가 된다.

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 근 평균 제곱 속력, the root-mean-square speed

 근평균제곱속력은 먼저 평균제곱속력 c²를 먼저 구한다. c²는 <v²>로도 표시한다. 평균제곱속력을 구하는 식은 아래와 같다.

이를 계산하기 위해 적분표에서 를 사용해 위 적분을 계산하면,

이를 정리하면,

 따라서 근평균제곱속력c은 다음과 같이 된다(c는 v_rms로도 표현하며 <v²>^1/2도 같은 표현이다).

 298K에서 산소 분자의 근평균제곱속력을 구하면 482m/s 가 된다.

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 모든 종류의 기체와 온도에서 <v>/v_p와 v_rms/v_p 는 일정한 값을 가진다. 
먼저 <v>/v_p의 비를 구해보자.

 또 v_rms/v_p 의 비를 구해보면,