충돌 빈도와 분출 속도, Collision frequency and Rate of Effusion

 앞서 알아본 것으로 분자가 일정한 면과 충돌하는 속도를 알 수 있다. 이 면은 실제로 존재하는 벽이 될 수도 있고, 가상의 면이 될 수도 있다. 일정한 시간 동안에 일정한 넓이를 가진 표면에 충돌하는 분자수를 그 시간과 넓이로 나눈 값을 충돌 유량, Collision flux, Z_W라고 한다. 충돌 유량에 임의의 면의 넓이를 곱하면 충돌 빈도, Collision frequency를 얻을 수 있다. 충돌 빈도는 1초 동안에 이 면에 충돌하는 분자수를 나타내는 값이 된다.

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충돌 유량, Collision flux, Z_W

 x축에 수직한 넓이 A를 가진 벽이 있다. 분자가 v_x>0 인 속도를 가질 때, 즉 +x 방향으로 운동할 때 벽으로부터 v_xΔt 이내의 거리에 있는 분자들은 Δt 시간 안에 벽과 충돌하게 된다. 그러면 부피 Av_xΔt 안에 있으면서 양의 속도를 가지는 분자들은 모두  Δt 시간안에 벽과 충돌하게 된다. 그러면 분자수 밀도 를 곱하면 이 시간 동안에 일어나는 전체 충돌 수를 얻을 수 있다.

 하지만, 분자마다 속도가 전부 다른 것을 고려해야하니까, 속도 분포를 생각한 속도의 평균을 구해야한다. 그러면,

충돌 유량, Z_W은 충돌수를 A와 Δt로 나눈 값이 된다. 그러면,

앞에서 구한 속도 분포식을 넣으면,

 위의 적분은, 다음과 같은 적분 공식을 이용했다.

 분자수 밀도는=nNA/V=p/kT 이므로, 이 식을 위에 넣으면 ,

즉, 분자 평균 속력의 값이 나오게 된다. 

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분출 속도, Rate of Effusion

 Graham의 분출법칙, Graham's law of effusion은 분출에 대한 실험적 관찰 내용을 요약한 것이다. Graham의 법칙에 의하면 분출 속도는 몰질량의 제곱근에 반비레한다. 이런 결과는 위의 식에서도 볼 수 있듯이 분자의 평균 속력이 M^1/2에 반비례하기 때문이다. 그래서 구멍 넓이에 충돌하는 비율은 비슷하게 M^1/2에 반비례하게 될 것이다.

 하지만 우리는 충돌 유량을 가지고 분출속도에 대한 더 자세한 식을 유도해 낼 수 있다.

압력 p 와 온도 T의 기체가 들은 용기를 진공 속에 놓고 작은 구멍을 뚫으면, 기체 분자가 이 구멍을 통해 나가는 속도는 이 분자가 이 구멍만한 넓이에 충돌하는 속도와 같다. 그러면 넓이가 A0인 구멍을 통한 분출 속도는 다음과 같이 된다. 

이 식은 바깥이 진공인 경우이며, 진공이 아닌 경우에는 p를 압력의 차로 바꾸면 된다. 그리고 위 식에서 일정한 부피일 때는 pV=nRT 이므로, 전체 ZWA는 T^1/2에 비례함을 알 수 있다.

 이 식은 증기 압력이 대단히 낮은 고체나 액체의 증기 압력을 측정하는 Knudsen 법의 기초가 된다.