완전 기체의 운반 성질, Transport properties of a perfect gas_(2)

 기체나 유체처럼 움직이는 물질들은 운반 성질을 가진다. 이 운반 성질들은 실험적으로 관찰한 내용을 요약한 실험식인 현상론적 식으로 표현된다. 이 현상론적 식들은 모든 종류의 성질과 매질에 적용된다. 이 글에서 알아볼 것은 완전 기체의 운반 성질인 확산Diffusion, 열전도Thermal conductivity 그리고 점성도Viscosity의 계수들이다. 각각의 계수는 다음 식에서 나오는 값들이다.

  

순서대로 물질 유량, 에너지 유량, 운동량 유량이다.

각각 D, κ, η 는 확산 계수, 열전도도 계수, 점성도 계수이다.

각각의 계수를 분자 운동론을 통해 유도하겠다.

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 확산, Diffusion

 오른쪽 그림을 생각하자. z=0 에 있는 가상의 창문이 있다고 하자. 이 창문의 넓이는 A 이다. 넓이 A를 가지는 창문을 통과한 분자들은 마지막 충돌을 한 후에 평균 자유 행로λ를 날아온다. 그러므로 이 창을 통해 날라오는 분자들의 출발 지점은 평균 자유 행로λ 만큼 떨어진 곳이다. 그래서 알맹이수 밀도는 z=-λ에서 구해야하고, 근사적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

이는 함수를 Taylor 급수 전개를 한 다음에 두번째 항에서 끊은 것이다. Δt 시간 동안 넓이 A의 창문에 와서 부딪치는 분자수는 Z_WAΔt로 주어진다. 따라서 왼쪽(L)으로부터 오른쪽(R)으로 넘어가는 분자의 유량 J(L→R)은 다음과 같이 된다.

 반대로 z=λ 에서 넘어오는 분자 유량도 있다. 이 유량은 위에서 구한 것과 같이 구하되, 방향이 반대라는 것을 유의하자.

그리고 z=λ 에서의 평균 알맹이수 밀도는 다음과 같다.

 그러면 전체 유량 J는 J(L→R)와 J(L←R)를 더한 것과 같다. 단순히 더하는 이유는 방향이 다름을 고려해서 더하는 것이 차를 구하는 것과 같기 때문이다. 이 둘을 더하면,

이제 유량은 농도의 1차 도함수에 비례하게 되어, Fick의 확산 제1법칙과 일치하게 된다.

따라서 농도의 1차 도함수 앞에 있는 것을 확산계수 D로 써도 되지만, 실제로는 그렇지 않다. 오른쪽 그림을 보자. 두 입자 모두 면으로부터 수직 거리가 짧은 위치에 있다. 하지만 z 축 방향의 속도가 다르다. 위의 입자는 면에 도달하기까지 거리가 짧아서 쉽게 통과할 수 있는 반면, 밑의 입자는 면에 도달하기까지 거리가 길기 때문에 면에 도달하기 전에 다른 입자와 충돌할 확률이 높아진다. 

 긴 비행거리로 인해 면에 도달하기 전 충돌하는 분자들은 유량에서 빼줘야한다. 하지만 이 글에서 다루기엔 상당히 복잡해지기에, 결론만 말하면 위에서 유도한 식에 2/3 만 곱하면 되게 된다.

 따라서, 확산 계수 D는 다음과 같다.

 이 식을 생각해보면, 여러 의미가 있다.

1. 압력이 증가하면 평균 자유 행로λ가 감소하고, 확산 계수 D도 감소하게 되어 기체가 느리게 확산된다.

2. 온도가 올라가면 평균 속력가 증가하고, 확산 계수 D도 증가하게 된다. 그래서 뜨거운 시료 속의 분자는 차가운 시료 속의 분자보다 빠르게 확산된다.

3. 분자의 평균 자유 행로는 충돌 단면적이 감소하면 증가하므로 작은 분자가 큰 분자보다 큰 확산 계수를 갖는다.

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열 전도도, Thermal conductivity

 균등 분배 원리에 의해 개개의 분자는 ε=νkT 라는 평균 에너지 값을 갖는다. ν는 단원자 분자의 경우에 3/2, 직선형 분자는 5/2, 비직선형 분자는 3의 값을 갖으며, k는 볼츠만 상수이다. 확산 계수를 구할 때 처럼 한 분자가 가상의 창문을 통과할 때마다 평균 에너지 만큼의 양을 운반하게 될 것이라 생각하자. 그리고 알맹이의 밀도는 균일하지만 온도는 균일하지 않다고 가정하자.

 그러면 왼쪽으로부터 오는 분자들은 평균 자유 행로만큼 떨어져 있는 뜨거운 영역에서 마지막 충돌을 해서 높은 에너지를 가지고 오고, 오른쪽에서 오는 분자들은 찬 영역에서 낮은 에너지를 가지고 온다. 두 에너지 유량을 다음과 같이 쓸 수 있다.

  

 이때 λ 만큼 떨어진 에너지는 Taylor 급수를 한 후에 2차항에서 끊은 것을 쓰자. 그러면, 각각

  

 이제 두 유량을 더하면 알짜 에너지 유량은 다음과 같이 된다.

 확산 계수처럼 긴 비행 경로로 인해 면을 넘지 못하는 입자를 고려하기 위해 2/3를 곱하면 다음과 같이 된다.

 이 유량은 온도 기울기에 비례한다. 온도 기울기 앞의 계수가 열 전도도 계수가 된다. 즉,

 이제 이 식을 다르게 빠꿀 수 있다. 먼저 이며, N은 n·N_A가 된다. 그러면 식은 이렇게 바뀐다.

 한편 완전 기체의 경우 일정 부피에서의 몰 열용량인 가 성립하므로(증명은 나중에..), n/V 는 몰농도가 되므로 [A]라 표현하겠다. 즉, 다음과 같이 식은 변하게 된다.

 이제 열전도도 계수의 의미를 살펴보자.

1. 평균 자유 행로는 압력에 반비례한다. 그리고 기체의 몰농도는 압력에 비례한다. 열전도도는 압력에 무관하다.

압력에 무관한 물리학적 이유는 에너지를 운반하는 분자수가 많을 때는 열전도도가 커지지만, 분자수가 많기 때문에 평균 자유 행로가 작아져서 분자들이 멀리까지 에너지를 운반하지 못하게 된다.

2. 높은 열용량의 기체는 열전도도 값이 크다. 

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점성도, Viscosity

 확산과 열전도도 계수를 구했던 것처럼 점성도도 똑같이 구해보려고 한다. 왼쪽과 오른쪽에서 오는 분자는 z=0의 층에 mv_x(λ)과 mv_x(-λ)의 운동량을 운반할 것이다. 분자 밀도가 균일하다면 충돌 유량은 가 된다. 오른쪽과 왼쪽으로부터 오는 분자들이 가지고 오는 운동량은 다음과 같다. 

     

 따라서 x축 운동량 성분의 z 방향 유량은 다음과 같이 된다.

 

 속도 기울기에 비례하는 값을 얻었다. 여기에 2/3를 곱해주면 점성도 계수 η를 얻게 된다.

 이를  으로 바꾸고, Nm=nM 이며, n/V는 몰농도 [A]가 되므로 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

여기서 M은 몰 질량이며 [A]는 기체 분자의 몰농도이다.

 이 식을 해석해보자.

1. 평균 자유 행로는 압력에 반비례하고, 몰농도 [A]는 압력에 비례한다. 따라서 점성도는 압력에 무관하다.

2. 기체의 평균 속력은 가 되므로, 점성도는 역시 온도의 제곱근에 비례()한다. 즉, 온도가 증가할 수록 기체의 점성도는 증가한다.