완전 기체의 운반 성질, Transport properties of a perfect gas_(1)

 기체나 유체처럼 움직이는 물질들은 운반 성질을 가진다. 이 운반 성질들은 실험적으로 관찰한 내용을 요약한 실험식인 현상론적 식으로 표현된다. 이 현상론적 식들은 모든 종류의 성질과 매질에 적용된다. 이 글에서 알아볼 것은 확산Diffusion, 열전도Thermal conductivity 그리고 점성도Viscosity이다. 

 어떤 성질의 이동 속도는 유량Flux, J로 나타낼 수 있다. 유량은 주어진 시간에 주어진 넓이의 면을 통과하는 관심 대상 성질의 양을 통과한 시간 간격과 넓이로 나눈 값이다. 확산처럼 흐르는 것이 물질일 때는 평방 미터와 초당 분자수의 차원을 가지는 물질 유량matter flux으로 나타내며, 열전도처럼 흐르는 것이 에너지일 때는 평방 미터와 초당 줄의 단위로 나타내는 에너지 유량energy flux으로 나타낸다.

오른쪽 그림은 농도 기울기를 따라 흘러가는 물질의 양을 그래프로 표시한 것이다. 운반 성질들에 관한 실험에 의하면 보통 어떤 성질의 유량은 그 성질과 관련된 다른 성질의 1차 도함수에 비례한다.

물질 유량의 경우, z축에 평행하게 확산되될 때 농도의 1차 도함수에 비례하는 값을 가진다.

이를 식으로 쓰면, 

이 때, 는 매 입방미터 당 개수(m^-3)의 단위로 나타낸 알맹이수 밀도이다. 이렇게 물질 유량이 농도 기울기에 비례하는 관계를 Fick의 확산 제1법칙,Fick's first law of diffusion 이라고 한다.

Fick의 확산 제 1법칙에 따라 농도가 위치에 따라 많이 바뀌면 확산이 빠르게 일어나고, 농도가 균일하여 일 때는 유량이 0이 된다.

이처럼 마찬가지로 에너지 유량도 온도가 z 축에 따라 다른 정도에 비례한다, 즉 이를 식으로 표현하면 다음과 같다. 

에너지 유량의 SI 단위는 Jm^-2s^-1가 된다.

 유량 J가 양의 값을 가질 때는 유량이 +z 방향을 향하고, 음의 값을 가질 때는 -z 방향을 향한다. 위의 그래프처럼, 물질은 농도기울기를 따라 높은데서 낮은데로 흘러가므로, 일 때 J는 양의 값을 가진다. 따라서 비례 상수는 음의 값을 가져야하고 -D라고 쓰겠다. 즉, 물질유량은 다음과 같이 표현된다.

이 때의 D는 확산 계수, diffusion coefficient가 된다. 확산 계수의 단위는 m²s^-1 이다. 마찬가지로 에너지 유량도 이렇게 표현할 수 있다. 

 이 때 κ는 열전도도 계수, coefficient of thermal conductivity이며 단위는 JK^-1m^-1s^-1이다. 

 물질 유량과 에너지 유량을 생각한 것처럼 운동량 유량과 점성도 사이의 관계를 생각할 수 있다. 오른쪽 그림처럼 x축 벽을 따라 진행하는 유체가 있다. 이 유체는 Newton 흐름 상태를 따른다. 이러한 유체는 그림처럼 여러 층들을 이루어서 흐르는 것이라 생각한다. 용기의 벽과 접해있는 층은 정지해있고, 잇따르는 층들이 가지는 속도는 기벽으로부터 거리에 따라 선형적으로 변한다. 

 분자들은 이 층들 사이에서 교환된다. 교횐될 때 원래 있던 층의 속도에 따라 가졌던 x 축 운동량 성분을 가지고 온다. 그래서 느리게 흐르는 층에서 온 분자들은 x축 운동량 성분이 낮은 상태로 오게되어 층 속도를 느리게 한다. 반대로 빠르게 흐르는 층에서 온 분자들은 x축 운동량 성분이 빠른 상태로 오게되어 층 속도를 빠르게 한다. 이런 효과로 인해 생기는 지연 효과가 점성이다.

 지연 효과는 관심을 가지는 흐름 층으로 오는 선형 운동량의 x축 성분의 크기에 의존한다. 그래서 점성은 x축 운동량 성분의 z 축 방향으로의 유량에 의존한다. 그래서 이렇게 쓸 수 있다.

여기서 비례상수 η는 점성도 계수, coefficient of viscosity라고 하며 단위는 kgm^-1s^-1이다. 그런데 포아즈,Poise(P)라는 단위가 자주 사용되는데, 1 P=10^-1 kgm^-1s^-1이다. 

 다음 글에서 확산 계수, 열전도도 계수, 점성도 계수를 표현하는 식을 분자 운동론으로부터 유도할 것이다.