비제차 선형 ODE : 미정계수법, Method of Undetermined Coefficients

 지금까지는 제차 선형 미분방정식의 일반해만 구했었다. 이번 글에서는 2계 비제차 선형 미분방정식을 푸는 방법 중 하나인 미정계수법Method of Undetermined Coefficients을 사용해 특수해를 구하고자 한다.

y₁과 y₂는 위의 식의 기저이다. 따라서 일반해 y_h =c₁y₁+c₂y₂으로 주어진다. 그리고 아래식의 특수해는 y_p 라고 하자. 그러면 아래식의 일반해는 y=y_h +y_p 으로 주어진다.

 미정계수법은 f(x)와 같은 형태의 특수해를 구하는 것이 목표이다. 만약 f(x)가 지수함수면 특수해도 지수함수의 형태로 주어지는 것이다. 이제 풀이법을 알아보자.

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A) 기본규칙

 f(x)가 유한개의 도함수를 갖는 경우를 생각하자. 즉, 다항함수, 지수함수 sin, cos 함수 또는 이들의 합이나 곱으로 표현된 함수일 때 특수해는 다음과 같다.

y_p = 유한개의 도함수에 대한 일차결합

예) 아래식의 특수해를 구해보자

f(x)가 다항식으로 주어졌으므로 특수해는 y_p =Ax²+bx+c의 형태를 생각하자. 이 특수해를 위의 식에 대입해보자.

 이제 각각 계수를 비교하면 A, B, C의 값을 구할 수 있다. 따라서 특수해는 아래와 같다.

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B) f(x)가 제차의 해일 경우

f(x)가 제차의 해일 경우에 특수해는 다음과 같이 구한다.

y_p = x^k·'기본규칙의 형태'

예) 아래식의 특수해를 구해보자

이 식은 상수계수를 가지는 미분방정식이므로 일반해는 아래와 같다.

미분방정식의 f(x)부분이 제차의 해와 같다. 그러면 비제차의 특수해는 x를 곱한 형태의 해를 생각하자.

이제 위를 식에 대입하면 A=1 이라는 답을 얻을 수 있다. 따라서, 이 식의 해는 다음과 같다.

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C) 합의 법칙

위와 같이 세 개의 비제차 미분방정식이 있다. 맨 위의 식의 특수해를 y_p1라하고 중간의 식의 특수해를 y_p2라 하면, 맨 밑의 식의 특수해는 y_p1+y_p2 가 된다.

예) 아래식의 특수해를 구해보자

이 식의 제차의 일반해는 아래와 같다.

그러면 비제차의 특수해는 아래와 같은 형태의 해를 생각한다.

이를 위의 미분방정식에 대입하면 아래와 같은 특수해를 얻는다.

따라서 이 식의 해는 아래와 같다.