Euler-Cauchy Equations

 여러가지 2계 선형 제차 미분방정식이 있다. 이 글은 그 중에서도 Euler-Cauchy Equation의 풀이를 다룰 것이다. Euler-Cauchy Equation 은 다음과 형태를 가지는 것으로 정의된다.

 이를 n계로 확장할 수 있다. 확장되면 다음과 같은 형태를 가진다.

 이러한 형태를 n계 선형 Euler-Cauchy Equation이라고 한다.

---

Euler-Cauchy Equation의 일반해

y 앞에 x의 다항식이 곱해져 있으므로 우리는 y=x^m 형태의 해를 구할 것이다. 이를 Euler-Cauchy Equation에 대입하면 다음과 같이 된다.

이를 x^m으로 묶으면,

괄호 안이 0이 되는 조건을 찾으면 된다. 즉,

이를 보조방정식 이라고 한다. 이 식을 m에 대해서 정리하면,

근의 공식을 통해 m의 값을 구할 수 있다. m은 다음과 같이 된다.

---

A) m이 서로 다른 실근일 때

m이 서로 다른 실근으로 얻어진다면 각각의 기저를 다음과 같다고 하자.

그러면 Euler-Cauchy Equation의 일반해는 다음과 같이 얻어진다.

---

B) m가 중근일 때

한 해는  y=x^m 일때, 다른 해는 계수축소법으로 구할 수 있다. 먼저 그 전에 m은 다음과 같이 된다.

이제 다른 해는 계수축소법으로 구하면,

따라서 Euler-Cauchy Equation의 일반해는 다음과 같이 얻어진다.

---

B) m가 서로 다른 두 허근일 때

구한 m 이 서로 다른 두 허근일 때, 즉 m=α±βi 으로 이루어져있다고 하자. 그러면 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

이를 약간의 조작을 해보자.

그러면 e의 지수 부분을 Euler 공식을 통해 아래와 같이 바꿀 수 있다.

중첩의 원리를 통해 이제 실수해를 얻을 수 있다.

 그러므로 Euler-Cauchy Equation의 일반해는 다음과 같이 얻어진다.