연산자, Operators

 양자 역학을 일반적으로 설명하기 위해 알아야할 것들이 있다. 시간에 무관한 1차원 상자 속 입자의 슈뢰딩거 방정식Schrodinger equation은 아래와 같이 썼었다.

(1)

 식(1)의 대괄호안의 전체가 연산자, Operator이다. 식(1)은 에너지를 구하는 연산자로, 파동 함수wave function에 연산자로 연산을 하면 파동 함수가 에너지와 곱해진 형태로 다시 나온다.

 연산자는 어떤 함수로 주어지는 간단한 규칙이다. 그 예로 연산자 를 뒤에 나오는 함수를 x에 대해서 미분시키는 것이라고 하자. 주어진 f(x)가 미분가능하다면, f(x)를 연산자로 연산하면 아래와 같은 결과가 된다.

(2)

 미분하는 연산자 뿐만 아니라 상수를 곱하는 것도 있을 수 있다. 연산자 은 뒤에 나오는 함수에 3을 곱하라는 것이 된다.

(3)

이런 연산자는 분배 법칙이 성립된다. 

(4)

연산자의 곱은 곱해진 순서대로 곱해야한다.

(5)

어떤 연산자들 끼리는 교환 법칙이 성립하지만,

(6)

어떤 연산자들끼리는 교환법칙이 성립하지 않는다.

(7)

 연산자의 대수학을 생각할 수 있는데, 만약 두 연산자가 아래 식과 같이 된다면,

(8)

두 연산자는 같다고 할 수 있다. 따라서 식(7)의 경우를 생각하면,

(9)

라고 할 수 있다. 여기서 연산자 1은 1을 곱하라는 뜻으로 단위 연산자unit operator가 된다. 또 0을 곱하는 것은 null operator가 된다.

보통의 대수학과 연산자의 대수학의 가장 큰 차이점은 곱하기의 교환법칙의 차이이다. 숫자에서 ab=ba이지만 연산자는 이 둘이 같지 않다. 그래서 Commutator라는 것을 정의한다.

(10)

만약 이 값이 0이라면 이 둘은 교환법칙이 성립한다. 

(11)

이 둘은 교환법칙이 성립하지만, 식(9)를 약간 변형시키면,

(12)

이 둘은 교환법칙이 성립하지 않는다.