수열, Sequence

 이 글에서는 미적분학에서 접하게 되는 용어와 정리들을 간략히 설명한다. 정의를 엄밀하게 하기 보다는 직관적으로 이해가 될 정도로만 설명을 썼다. 

 수의 나열을 우리는 수열,Sequence이라고 한다. 수열은 a_n이 L로 수렴한다converge는 것은 n이 커짐에 따라 이 수열의 각각의 항들이 L에 가까워진다는 것을 의미한다. 이를 기호로 표현한다면 다음과 같다.

 극한의 엄밀한 정의는 다음과 같다.

정의, Definition 1.1

모든 양수 ε와 모든 자연수 n보다 작거나 같은 N이 있다. 이때 |a_n-L|<ε이 되는 N이 존재한다면 수열 a_n이 L로 수렴한다고 한다.

 그리고 수열 a_n이 수렴하지 않으면 발산한다diverge고 한다.

 이런 정의를 토대로 이끌어낼 수 있는 몇가지 사실들이 있다. 정의를 토대로 이끌어낼 수 있는 사실을 정리theorem라고 한다.

 Theorem 1.2
 수열 a_n, b_n이 각각 A, B로 수렴할 때 다음이 성립한다.
i) 임의의 실수 k에 대하여

ii)

iii)

iv) B≠0 이며, 충분히 큰 모든 n에 대해 b_n≠0 일 때,

 두번째 정리는 샌드위치 정리, Sandwich theorem이라고도 한다.
 Theorem 1.3 샌드위치 정리, Sandwich theorem

충분히 큰 모든 n에 대하여 a_n≤b_n≤c_n 이고,  이면, 이다.


 Theorem 1.4
수열 a_n이 증가수열이고, a_n≤M이 되는 M이 존재하면 이 수열은 수렴한다.

정리 1.3에서 증가수열은 모든 n에 대하여 a_n≤a_n+1일 때를 말한다. 즉 언제나 다음항이 앞의 항보다 클 때, 증가수열이라고 말한다. 반대로 감소수열은 다음항이 앞의 항보다 작을 때 감소수열이라고 한다.