평균 변화율, 미분계수 및 도함수

평균 변화율
함수 에서 가 에서 까지 변한다고 하자. 이때 의 증분(increment)을 로 나타내고, 함숫값으 증분을 로 나타낸다.

즉, 이다.

그리고

 

를 의 에서 까지의 평균변화율(average rate of change)이라 하고, 두 점 와 를 잇는 직선의 기울기가 해당된다.

[그림 1. 평균 변화율, 빨간 직선의 기울기가 평균변화율에 해당된다.]

 

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미분 계수
에서 까지의 평균 변화율에서 를 점점 0으로 보내는 극한을 생각하자.
즉, 를 생각할 때, 극한이 존재하면 그 극한을 의 에서의 순간변화율(instantaneous rate of change), 변화율(rate of change), 미분계수라 하고 기호로 로 표현한다.

[그림 2. 미분계수, 미분계수는 곡선위의 점에서의 접선의 기울기를 의미한다.]

그리고 의 기하학적 의미는 그림 2에서와 같이 의 그래프에서 에서의 접선(tangent line)의 기울기를 나타낸다. 가 존재하면 는 에서 미분 가능(differentiable)하다고 하며, 를 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

Thm 2.1.1
가 에서 미분 가능하면, 에서 연속이다.

※증명



 

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도함수

 이렇게 얻어진 함수 를 의 도함수(derivative)라고 하며, 기호로 , 로 표시한다.
이런 도함수를 구하는 과정을 미분하다(differentiate)라고 한다.