함수의 연속

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 '함수의 그래프가 끊어지지 않고 매끄럽게 이어져있다'는 것을 연속(continuous)이라 한다. 이것을 수식으로 다음과 같이 정의한다.

Def. 1.4.1
함수 가 다음 조건을 만족할 때, 에서 연속이라고 한다.
가 존재한다.
가 존재한다.


그리고 실수의 부분 집합 의 모든 점에서 연속일 때 는 에서 연속이라고 한다.

함수 가 에서 연속이 아닐 때 이 점에서 불연속(discontinuous)이라고 한다.


Thm 1.4.2 연속함수의 기본성질
 와  가 에서 연속이라면,
 는 모두 에서 연속이다.
 가 에서 연속이고 가 에서 연속이면,
     합성함수 는 에서 연속이다.

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 연속함수는 두 가지 중요한 특징이 있다. 최대, 최소 정리와 중간값 정리(intermediate value property)가 그것이다.

Thm 1.4.3 최대, 최소 정리
함수 가 폐구간 에서 연속이면, 는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.


Thm 1.4.4 중간값 정리
함수 가 폐구간 에서 연속이고, 이 구간에서의 최솟값을 , 최댓값을 이라 하자.
이때 어떤 실수 가 이면, 가 되는 가 구간 에 존재한다.