여러가지 미분법

 여러 함수들의 미분을 다루는데 있어서 가장 기본적인 다항식을 생각해보자.

일 때, 함수  라고 하자.

 

이렇게 미분의 정의를 이용해서 함수들의 도함수를 구할 수 있다.

Thm 2.2.1 도함수의 기본 공식
와  가 미분가능할 때 다음 공식이 성립한다.

 
 
 

 

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 다항식의 미분에서 차수가 자연수일때만 했는데, 정수일 때도 성립하는 이유를 알아보자.

일 때, 를 미분해보자.

 일 때, 이므로 미분하면 0이 된다.

 이고, 을 만족하는 을 가져오면
가 되므로,
차수가 정수일 때도 성립한다.


Thm 2.2.2 합성함수 미분법 (연쇄 법칙, 연쇄율, chain rule)
두 함수 , 가 미분가능이면
(즉, 와 가 존재하면)

 이다.
즉,  이다.

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 보통의 함수들은  처럼 표현되어 있다. 이렇게 한 변수가 다른 변수에 관한 식으로 표현된 형태를 양함수(explicit function)이라 한다. 하지만, 식을 한 변수에 대해서 정리하기 힘든 식의 형태로 나타나 있을 때, 이런 형태를 음함수(implicit function)이라 한다.

를 미분해보자.
이 된다.
이것을 에 대해서 풀면
가 된다.

※지금은  형태로 음함수를 표현했지만, 꼭 의 형태로 있으란 법은 없다.


다항식의 미분에서 차수가 유리수까지 확장되면 성립하는지 알아보자.
일 때,  를 미분해보자.
로 잡자. (는 정수이고, )
가 된다.

여기서 음함수 미분법을 사용하면

 가 된다.

이것을 정리하면
가 되는데,  이므로

가 된다.

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 함수 의 역함수를 라고 하자. 의 양변에 함수 를 취하면 가 되고, 와 는 역함수 관계이므로 가 된다. 
 양변을 에 대해 미분하면 우변은 1이고, 좌변의 도함수는
 
이 되므로,
가 된다.


Thm 2.2.3 역함수 미분법

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 두 변수 와 가 매개변수(paramrter) 에 관한 함수 로 주어지는 매개방정식(parameter equation)일 때, 를 구하는 법을 알아보자.

는 합성함수 미분법에 의해 이다.

그리고 역함수 미분법에 의해 이 된다.


Thm 2.2.4 매개방정식 미분법
이면,  이다.