연속 함수, Continuous function

 수학에서 연속 함수, Continuous function란 직관적으로 함수의 변수가 조금씩 변하면 함숫값도 조금씩 변하는 것이다. 그렇지 않으면 불연속, discontinuous이라 한다. 함수가 연속함수이고 역함수도 연속함수라면 bicontinuous라고 한다. 

 연속의 입실론-델타 정의의 형태는 Bolzano가 1817년에 만들었다. 극한의 정의와 관련된 초기의 형태는 Cauchy가 만들었다. Cauchy는 함수 f의 연속성을 다음과 같이 정의했다 : 독립 변수 x가 무한히 작은 양만큼 변화하면, 함수 f(x)도 무한히 작은 양만큼 변화한다.

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정의, Definition 4.1

 함수 y=f(x)가 다음의 세 조건을 만족할 때, x=a에서 연속, continuous라고 한다. 다음 세 조건중 단 하나라도 만족하지 않으면 x=a에서 불연속, discontinuous이라고 한다.

1) 가 존재한다.

2) f(a)가 존재한다.

3) 이어야 한다.

 실수의 부분 집합 I의 모든 점에서 연속이면 y=f(x)는 I에서 연속이라고 한다.

  위와 같은 연속함수의 정의를 바탕으로 다음과 같은 연속함수의 기본성질들이 얻어진다.

Theorem 4.2 연속함수의 기본성질

1) y=f(x)와 y=g(x)가 x=a에서 연속이면,
   상수배를 한 kf(x), f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) [단, g(a)≠0이다] 는 모두 x=a에서 연속이다.

2) y=f(x)가 x=a에서 연속이고, y=g(x)가 x=f(a)에서 연속이면,
합성함수 y=g(f(x))는 x=a에서 연속이다.


 상수함수와 항등함수 y=f(x)=x는 모든 실수에서 연속이다. 그러면 정리4.2 연속함수의 기본성질에 의해 항등함수끼리 곱한 x², x³, …들도 연속함수가 된다. 다항함수p(x)를 다음과 같이 정의하자.

p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

 위 다항함수p(x)는 연속함수들의 상수배의 합이므로 역시 모든 실수에서 연속이 된다.

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 최대 최소 정리, Extreme Value Theorem

 미적분학에서 최대 최소 정리, Extreme Value Theorem는 연속함수의 중요한 특징 중 하나이다.

Theorem 4.3  최대 최소 정리, Extreme Value Theorem

 함수 y=f(x) 가 폐구간 [a,b]에서 연속이면, y=f(x)는 폐구간 [a,b]에서 무조건 최소 한 개의 최댓값maximum value과 최솟값minimum value를 갖는다.

 

 아래의 함수를 살펴보자. 

 위의 함수 f(x)는 폐구간 [a,b]에서 연속이다. 최대 최소 정리에 따라서 이 함수는 최댓값과 최솟값을 가지게 되는데, 이 함수는 x=c 에서 최댓값 f(c)를, x=d 에서 최솟값 f(d)를 가지게 된다.

 최대 최소 정리가 요구하는 조건은 두 가지가 있다. 하나는 폐구간일 것과 다른 하나는 연속이라는 것이다. 두 조건 중 하나라도 만족하지 않으면 최댓값 또는 최솟값이 없을 수 있다. y=1/x 라는 함수가 (0,1)에서 연속이지만 최댓값과 최솟값이 존재하지 않는다.

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 중간값 정리, Intermediate Value Theorem

 Theorem 4.4 중간값 정리, Intermediate Value Theorem

 

  함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에서 연속이고, 이 구간에서 최솟값을 m, 최댓값을 M을 가진다고 하자.
이때 어떤 실수 u가 m≤u≤M 이면, f(c)=u가 되는 c 가 구간[a,b]에 존재한다.

 중간값 정리에서도 역시 연속성이 매우 중요하다.  x보다 크지 않은 최대 정수를 가우스 함수 [x]라고 하자. 이때 y=[x]는 [0,1]에서 최댓값 1, 최솟값 0을 가진다. 하지만 연속하지 않기 때문에 f(c) = 0.5가 되는 c가 구간 [0,1] 안에 존재 하지 않는다.

  중간값 정리는 어떤 함수가 해를 가짐을 보일 때 자주 사용된다. 방정식 f(x) = x³ - 4x + 1이 세 실근을 가짐을 보이자. 이 방정식은 [-3,2]까지 연속이다.  f(-3) = -14, f(-2)=1 이고 f(0)=1, f(1)=-2 이고 f(2)=1 이다. 이때 f(c)=0 이 되는 c는 중간값 정리에 의해 c는 -3≤c≤-2 와 0≤c≤1 그리고 1≤c≤2 사이에 각각 적어도 한 개가 있음을 알 수 있다.