도함수, Derivative

 미적분학은 모든 자연과학 분야에 가장 필수적으로 요구되는 수학이다. 처음으로 미적분을 접하는 사람들은 처음 보는 기호때문에 공포감을 갖게 된다. 그러나 미적분을 표기할 때 사용되는 두 개의 주요한 기호의 일반적이고 상식적인 의미를 알면 공포감은 없어진다. 미적분에서 가장 많이 쓰이는 기호 중 하나는 d라는 기호이다. d는 어떠한 것의 아주 작은 부분a little bit of을 뜻하는 기호이다. 따라서 dx는 x의 아주 작은 부분을 의미하고, dt는 t의 아주 작은 부분들을 의미한다.^[각주:1] 

 어떤 함수가 주어졌을 때, 이 함수는 변수가 바뀜에 따라 함숫값도 같이 바뀌게 된다. 미분은 어떤 함수가 변화하는 정도인 변화율을 알아보는 것이다. 어떤 함수의 도함수Derivative는 원래 함수의 변화하는 비율을 나타내는 함수이며, 이 도함수를 어떻게 구하는지 알아보자.

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 평균 변화율, Average rate of change

 어떤 한 순간의 변화율을 알기 전에 먼저 일정 구간의 평균 변화율을 알아보자.

 함수 y=f(x)에서 x가 x=a 에서 x=a+h 만큼 변한다고 하자. 이때 x가 변한 양을 x의 증분increment라고 하고 Δx라 표현한다. x가 변할 때, 함숫값 y는 y=f(a)에서 y=f(a+h) 만큼 변하게 된다. 역시 y가 변한 양을 y의 증분을 Δy로 나타낸다. 이를 다시 쓰면,

Δx = (a+h) - a = h
Δy = f(a+h)-f(a)

그러면 x가 변할 때 y가 변화한 비율은 다음과 같이 표현할 수 있게 된다.

 

 이 값을 y=f(x)의 a에서 a+h까지의 평균 변화율Average rate of change이라 하고 (a,f(a))와 (a+h,f(a+h)) 두 점을 잇는 직선의 기울기와 같은 값이다.

함수 y=x|x| 의 구간 [-1,1]에서의 평균 변화율을 구하자.

x=-1 일때 함숫값은 -1 이며,
x=1 일때 함숫값은 1이 된다.

Δx = 1 - (-1) = 2 이며,
Δy = 1 - (-1) = 2 가 된다.

따라서 Δy/Δx = 1 이다.

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 미분 계수, a differential coefficient

 이제 어떤 구간이 아닌 한 점에서 순간적으로 변하는 변화율을 생각해보자. 위에서 우리가 정한 평균 변화율의 식은 다음과 같다.

 

 그러면 x=a에서만의 변화율은 어떻게 되는지 알아보려면 h를 0으로 보내는 극한을 생각하면 될 것이다.

 이 극한값이 존재하지 않을 수 있지만 극한이 존재한다면, 극한 값을 y=f(x)의 x=a에서 순간 변화율istantaneous rate of change 또는 변화율rate of change, 미분 계수a differential coefficient라고 한다. 이를 f'(a)라고 표현한다.

1. 「알기 쉬운 미적분, Calculus Made Easy」, Silvanus P. Thompson 지음, 홍성윤 옮김, 전파과학사, 1983년 [본문으로]