Carnot Heat Engine 카르노 기관

 엔트로피Entropy는 경로에 무관한 상태함수이다.
이러한 상태함수의 증명은 아래 그림과 같은 순환 과정에 대한 dS의 적분이 경로에 무관하다는 것, 즉 ΔS=0이라는 것을 보이면 된다.

위 식에서 1에서 출발하여 2로 가서, 다시 1로 돌아가는 과정에 대한 아래의 적분이 0임을 보이면 된다.

위 식에서 적분의 기호는 닫힌 경로를 도는 적분, 즉 순환적분을 표시하는 것이다. 엔트로피가 상태함수임을 증명하기 위해서 카르노 기관Carnot engine을 이용할 것이다.

Carnot 기관의 특징은

1. 벨브가 없다.
2. 실린더 내에는 계(system)로써 작업 유체가 들어있다.
3. 실린더, 피스톤, 열원 등은 주위이다.
4. 계는 닫힌계이다.
5. 실린더벽이나 실린더 헤드를 통한 열전도에 의하여 열이 '고온열원'에서 작업유체로 흐르고, '저온열원'으로 열을 배출한다.
6. 마찰 없이 가역적으로 작동한다.

이어서 작동과정은 다음과 같다.

1. 실린더가 고온 열원과 접촉하면서 상사점에 있을 때 작동 시작
2. 고온열원온도에서 계의 등온가역팽창
3. 피스톤이 하사점에서 중간에 멈추고 고온열원을 제거한다.
4. 단열가역팽창 - 계의 온도가 저온열원의 온도와 같고 피스톤이 하사점에 있을 때 이 단계가 끝난다.
5. 등온가역압축 단계이며 실린더는 저온열원과 접해있다.
6. 가역단열압축 단계이며 계의 온도가 고온열원의 온도와 같고 피스톤이 상사점에 있을 때 이다.

다시 순환과정을 반복한다.

위 순환 과정을 그림으로 그리면 다음과 같다.

편의상 T1을 T_h로, T2는 T_c로 표시하겠다.
단계 1. 가역 등온 팽창 (고온 T_h) : 주위에 일 w₁₂을 하며 고온열원에서 열 q_h를 흡수한다.
단계 2. 가역 단열 팽창 (T_h →T_c) : 피스톤은 주위에 w₂₃의 일을 하며, 열 q₂=0 이다.
단계 3. 가역 등온 압축 (저온 T_c) : 주위는 기체에 w₃₄의 일을 하며 저온 열원으로 q_c가 흐른다. 
단계 4. 가역 단열 압축 (T_c →T_h) : 주위는 기체에 w₄₁의 일을 하며 q₄=0이다.

이제 완전 기체에 대하여,
단계 1. 가역 등온 팽창 (고온 T_h) : ΔU = q + w =0이므로 q_h = -w₁₂이다. 즉, 다음과 같다. (가역등온팽창에서의 일 구하기 Link)

단계 2. 가역 단열 팽창 (T_h →T_c) : 부피 대 온도 변화의 관계(Link)는 다음과 같이 주어진다.

이때 c=Cv/nR 이다.

단계 3. 가역 등온 압축 (저온 T_c) : 단계1과 마찬가지로 ΔU=0 이므로 q_c = -w₃₄이다. 즉,

단계 4. 가역 단열 압축 (T_c →T_h) : 단계 2와 마찬가지로,

이러한 단계들에서 단계 2와 4를 비교하면

 그리고

즉 다음과 같은 관계가 성립한다.

이제 위의 결과를 단계 3에 대입하면 다음과 같이 된다.

한편 이러한 Carnot 순환 과정에 대한 엔트로피의 변화는 단계1과 단계3의 엔트로피 변화를 구하면 된다. 그 이유는 dq에 대해서 적분을 해야하는 것인데, 단계 2와 4는 q=0이기 때문이다.

이로써 의 결과를 증명하게 되었다.